互质与欧拉函数

落爺英雄遲暮 提交于 2020-02-26 14:50:06

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互质

我们定义两个正整数 \(a,b\) ,若 \(a,b\) 的最大公因数为 \(1\)

对这类特殊的数对,我们称呼为互质

\(a,b\) 互质 \(\Leftrightarrow gcd(a,b)=1\)


简化剩余类

考虑 \(n\)\(m\) 个剩余类,其中对于所有与 \(n\) 互质的剩余类称为简化剩余类

可以证得,简化剩余类的数量为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)

我们从每个剩余类中抽出一个数,分别命名为 \(a_{1\cdots m}\)

易得到 \(\forall 1\leq i\leq m,gcd(a_i,n)=1\)


欧拉函数

欧拉函数 \(\boldsymbol \varphi(n)\) 定义为:小于等于 \(n\) 的正整数中,与 \(n\) 互质的数的个数

我们引入符号 \([condition]\) 为一个值:当 \(condition\) 为真时,值为 \(1\) ;否则为 \(0\)

因此可以这么写: \(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)


欧拉函数的性质

首先,根据定义,不难得出 \(\boldsymbol\varphi(1)=1\)

而根据质数的定义,还容易得出 \(\boldsymbol\varphi(p)=p-1,p\in Prime\)

因为所有比它小的数中,只有 \(1\) 是它的因数,其它的都与它互质;而 \(gcd(1,p)=1\)


我们考虑质数的正整数次方:对于质数 \(p\)\(k\) 次方 \(p^k\)

显然:小于等于它的数一共 \(p^k\) 个,只有含有质因数 \(p\) 的数与它不互质,这些数为:

\(p,2p,3p\cdots p^{k-1}\cdot p\)\(p^{k-1}\)

\(\boldsymbol \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1},p\in Prime,k\in Z_+\)

同时还能得到递推式: \(\boldsymbol \varphi(p^{k+1})=p^{k+1}-p^k=p(p^k-p^{k-1})=p\cdot \boldsymbol\varphi(p^k)\)


接下来我们证明欧拉函数的积性性质:

\(gcd(M,N)=1\Rightarrow\boldsymbol\varphi(NM)=\boldsymbol \varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\)

证明:

考虑到 \(N\)\(\boldsymbol\varphi(N)\) 个简化剩余类, \(M\)\(\boldsymbol\varphi(M)\)

则设 \(N\) 的简化剩余类中各取一个数,构成集合 \(A\)\(M\) 中的构成集合 \(B\)

因此 \(gcd(aM+bN,M)=gcd(bN,M)=gcd(b,M)=1,a\in A,b\in B\)

同理 \(gcd(aM+bN,N)=1\)

考虑到若 \(gcd(a,c)=1,gcd(b,c)=1,gcd(a,b)=1\)

\(a,b,c\) 所含的质因数互不相同,因此 \(gcd(ab,c)=1\)

因此,回归到上面:

由于 \(gcd(aM+bN,M)=1,gcd(aM+bN,N)=1,gcd(M,N)=1\)

因此 \(gcd(aM+bN,MN)=1\)

\(a\) 一共有 \(\boldsymbol \varphi(N)\) 个不同的取值,每个都满足 \((aM+bN\mod MN)\) 互不相同且 \(gcd(aM+bN,NM)=1\)

\(b\) 一共有 \(\boldsymbol\varphi(M)\) 个不同取值,也满足上式

故根据乘法原理:一共有 \(\boldsymbol\varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\) 个数使得 \(MN\) 互质

因此 \(\boldsymbol\varphi(NM)=\boldsymbol\varphi(N)\cdot\boldsymbol\varphi(M)\)


欧拉函数的积性性质可以形成新的推论:

\(\displaystyle \boldsymbol\varphi(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m\boldsymbol\varphi(p_i^{c_i})\)

据此可演化出了欧拉函数的求法与筛法


欧拉函数的求法

\(\displaystyle n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\)

\(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=\prod_{i=1}^m\boldsymbol\varphi(p_i^{c_i})=\prod_{i=1}^m(p_i^{c_i}-p_i^{c_i-1})=(\prod_{i=1}^mp_i^{c_i})\cdot(\prod_{i=1}^m(1-{1\over p_i})\ )\)

代入 \(n\) 的定义得 \(\displaystyle \boldsymbol\varphi(n)=n\prod_{i=1}^m{p_i-1\over p_i}\)

用类似于质因数分解的方法即可 \(O(\sqrt n)\) 求出

sieve(sqrt(n));
int copy=n,ans=1;
for(int i=1;i<=cntprime;i++){
    if(copy%prime[i]!=0) continue;
    ans*=prime[i]-1;
    copy/=prime[i];
    while(copy%prime[i]==0){
        copy/=prime[i];
        ans*=prime[i];
    }
}
if(copy!=1) ans*=copy-1;

欧拉函数的筛法

\(n\in Z_+,p\in Prime\)

\(p^k\mid n,p^{k+1}\nmid n,k\in Z_+\)

\(\boldsymbol\varphi(n\times p)=\boldsymbol\varphi({n\over p^k}\times p^k\times p)=\boldsymbol\varphi({n\over p^k})\cdot\boldsymbol\varphi(p^{k+1})=\boldsymbol\varphi({n\over p^k})\times p\cdot\boldsymbol\varphi(p^k)\)

\(\boldsymbol\varphi(n\times p)=p\cdot\boldsymbol\varphi(n)\)

\(p\nmid n\)\(\boldsymbol\varphi(n\times p)=\boldsymbol\varphi(p)\cdot\boldsymbol\varphi(n)=(p-1)\cdot\boldsymbol\varphi(n)\)

总结起来就是: \(\boldsymbol\varphi(p\times n)=\boldsymbol\varphi(n)\times \begin{cases} p,p\mid n \\\ \\ p-1,p\nmid n \end{cases}\)

使用线性筛可以 \(O(n)\) 求出

int prime[MAXN],fc[MAXN],phi[MAXN],cntprime;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(fc[i]==0){
        prime[++cntprime]=i;
        fc[i]=i;
        phi[i]=i;
    }
    for(int j=1;j<=cntprime&&j<fc[i]&&j*i<=n;j++){
        fc[i*prime[j]]=prime[j];
        phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
    }
    phi[i*fc[i]]=phi[i]*fc[i];
    fc[i*fc[i]]=fc[i];
}
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