平面向量学习笔记

∥☆過路亽.° 提交于 2020-02-26 11:58:16
平面向量学习笔记
第一节

一、向量的背景——位移、速度、力

1、特点:向量、位移、力都既有大小、又有方向。

2、既有大小、又有方向的量在物理上成为矢量。

二、向量及其表示

1、概念:既有大小、又有方向的量统称为向量。其中,大小与方向是向量的二要素。

2、表示方法:

(1)几何表示——有向线段

若规定线段\(AB\)端点\(A\)为起点,端点\(B\)为终点,则线段\(AB\)就有了从起点\(A\)到终点\(B\)的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段,记作 $ \overrightarrow {AB} \(,其长度为\) |\overrightarrow {AB}| $。

此时,有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指方向表示向量的方向。

(2)字母表示

​ ①用有向线段的起点和终点表示$ \overrightarrow {AB} $。

​ ②用小写字母\(a,b,c...\)表示,书写表示为$ \overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}... $

3、向量的模

\(|\overrightarrow {AB}|\)(或\(|{a}|\))表示\(\overrightarrow {AB}\)(或\({a}\))的大小,即长度(或模)。

4、特殊向量

(1)零向量:长度为零的向量。记作\(\boldsymbol 0\)\(\overrightarrow {0}\),方向任意。

(2)单位向量:长度为1 的向量。

注意:

​ ①若用有向线段表示零向量,则其起点与终点重合。

​ ②注意\(0\)\(\boldsymbol 0\)的区别与联系:0是实数,\(\boldsymbol 0\)是向量,且\(|\boldsymbol 0|=0\)

三、相等向量与平行(共线)向量

1、相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作\(a=b\)

说明:

​ ①若\(a=b\),则\(|a|=|b|\),且向量\(a\)\(b\)方向相同。

​ ②由相等向量可知,当用有向线段表示向量时,起点可任意选举。

​ ③由相等向量定义知:同向且等长的有向线段表示同一向量,因此向量可以在平面内平行移动。

2、平行(共线)向量:如果两个向量的有向线段所在直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线,记作\(a // b\)。规定零向量与任意向量平行。

说明:

​ ①向量都是可以自由平移的,所有平行的向量都可以移到同一条直线上,因此平行向量也称为平行向量。

​ ②非零平行向量方向相同或相反。

​ ③共线向量与相等向量关系:共线向量不一定是相等向量,但相等向量一定是共线向量。

​ ④向量相等具有传递性:\(a=b,b=c\)\(a=c\),而向量的平行不具有延续性:只有当 \(b\neq0\) 时,\(a//b,b//c\)\(a//c\)

四、利用相等向量或平行向量解决点共线问题

1、若\(\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}\),则\(A、B、C\)三点共线。

2、若\(\overrightarrow {AB}//\overrightarrow {CD}\),则\(AB//CD\)\(A、B、C、D\)四点共线。

3、若\(AB//CD\),则\(\overrightarrow {AB}//\overrightarrow {CD}\)

4、若\(\overrightarrow {AB}//\overrightarrow {AC}\),则\(A、B、C\)三点共线。

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