层次分析法

萝らか妹 提交于 2020-02-26 00:14:48

title: 层次分析法
date: 2020-02-25 19:14:41
categories: 数学建模
tags: [MATLAB, 评价模型]
mathjax: true


定义

​ 层次分析法(The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法,是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的,它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。

​ AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把 复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构,通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点。

步骤

第一步递阶层次结构

分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。

第二步构造判断矩阵

{1,2,3,...,9}:代表重要程度,逐渐递增

得到一个方阵,我们记为A,对应的元素为\(a_{ij}\).

(1)\(a_{ij}\)表示的意义是,与指标j相比,i的重要程度。
(2)当i=j时,两个指标相同,因此同等重要记为1,这就解释了主对角线元素为1。
(3)\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)

第三步一致性检验

判断矩阵各行(各列)之间成倍数关系

\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)

在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵

若正互反矩阵满足\(a_{ij}*a_{jk}=a_{ik}\),则我们称其为一致矩阵

注意:在使用判断矩阵求权重之前,必须对其进行一致性检验。
\[ \left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]为一致矩阵的充要条件:\left\{\begin{array}{l}{a_{ij}>0} \\{a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1} \\{\left[a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right]=k_{i}\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right]}\end{array}\right. \]

\[ <Empty \space Math \space Block> \]

一致性检验的步骤

第一步:计算一致性指标CI

\[ CI=\frac{入_{max}-n}{n-1} \]

第二步:查找对应的平均随机一致性指标RI

第三步:计算一致性比例CR

\[ CR=\frac{CI}{RI} \]

如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受;否则需要对 判断矩阵进行修正。

第四步判断矩阵计算权重

归一化

权重一定要进行归一化处理

eg:

方法1:算术平均法求权重

  1. 第一步:将判断矩阵按照列归一化 (每一个元素除以其所在列的和

  2. 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)

  3. 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

    假设判断矩阵为

\[ A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right] \]

那么算术平均法求得的权重向量
\[ \omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}}(i=1,2,...n) \]

方法2:几何平均法求权重

几何平均法求权重也有三步:

  1. 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
  2. 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
  3. 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量

  4. 假设判断矩阵为

\[ A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right] \]

那么几何平均法求得的权重向量
\[ \omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}, \quad(i=1,2, \cdots, n) \]

方法3:特征值法求权重

假如我们的判断矩阵一致性可以接受,那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。

  1. 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

  2. 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

实际建模

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中某一种方法求权重,而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重,再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效。

三种权值求平均权值

代码

%% 注意:在论文写作中,应该先对判断矩阵进行一致性检验,然后再计算权重,因为只有判断矩阵通过了一致性检验,其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中,我们先计算了权重,然后再进行了一致性检验,这是为了顺应计算过程,事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法,一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵,那么就没有必要进行一致性检验。


% 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子;)表示不显示运行结果
% 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R
% 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T

disp('请输入判断矩阵A')  %matlab中disp()就是屏幕输出函数,类似于c语言中的printf()函数
% 注意,disp函数比较特殊,这里可要分号,可不要分号哦

A=input('A=');
% 这里输入的就是我们的判断矩阵,其为n阶方阵(行数和列数相同)
% [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1]
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]

% 在开始下面正式的步骤之前,我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误
ERROR = 0;  % 默认输入是没有错误的
%(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵
[r,c]=size(A);
%size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量,第一个元素是矩阵的行数,第二个元素是矩阵的列数
%[r,c]=size(A)  %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r,将矩阵的列数返回到第二个输出变量c

if r ~= c  || r <= 1
    % 注意哦,不等号是 ~=  (~是键盘Tab上面那个键,要和Shift键同时按才会出来),别和C语言里面的!=搞混了
    % ||表示逻辑运算符‘或’(在键盘Enter上面,也要和Shift键一起按) 逻辑运算符且是 && (&读and,连接符号,是and的缩写。 )
    ERROR = 1;
end
% Matlab的判断语句,if所在的行不需要冒号,语句的最后一定要以end结尾 ;中间的语句要注意缩进。

%(2)检验是否为正互反矩阵  a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1
if ERROR == 0
    [n,n] = size(A);
    % 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示
    % 判断是否有元素小于0
    %    for i = 1:n
    %        for j = 1:n
    %            if A(i,j)<=0
    %                ERROR = 2;
    %            end
    %        end
    %    end
    if sum(sum(A <= 0)) > 0
        ERROR = 2;
    end
end

%顺便检验n是否超过了15,因为RI向量为15维
if ERROR == 0
    if n > 15
        ERROR = 3;
    end
end

if ERROR == 0
    % 判断  a_ij * a_ji = 1 是否成立
    if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0
        ERROR = 4;
    end
    % A' 表示求出 A 的转置矩阵,即将a_ij和a_ji互换位置
    % ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵
    % ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵
    % MATLAB在矩阵的运算中,“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法,对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
    % 如果a_ij * a_ji = 1 满足, 那么A和A'对应元素相乘应该为1
end


if ERROR == 0
    % % % % % % % % % % % % %方法1: 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
    % 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
    % 第二步:将归一化的各列相加
    % 第三步:将相加后的向量除以n即可得到权重向量
    
    Sum_A = sum(A);
    % matlab中的sum函数的用法
    % a=sum(x);%按列求和
    % a=sum(x,2);%按行求和
    % a=sum(x(:));%对整个矩阵求和
    
    % % 基础:matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素?
    % % (1)取指定行和列的一个元素(输出的是一个值)
    % %     A(2,1)  A(3,2)
    % % (2)取指定的某一行的全部元素(输出的是一个行向量)
    % %     A(2,:)  A(5,:)
    % % (3)取指定的某一列的全部元素(输出的是一个列向量)
    % %     A(:,1)  A(:,3)
    % % (4)取指定的某些行的全部元素(输出的是一个矩阵)
    % %    A([2,5],:)      只取第二行和第五行(一共2行)
    % %    A(2:5,:)        取第二行到第五行(一共4行)
    % % (5)取全部元素(按列拼接的,最终输出的是一个列向量)
    % %    A(:)
    
    SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
    % B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块,即把A作为B的元素,B由m×n个A平铺而成。
    % 另外一种替代的方法如下:
    % SUM_A = [];
    % for i = 1:n  %循环哦,不需要加冒号,这里表示循环n次
    %     SUM_A = [SUM_A;Sum_A];
    % end
    
    Stand_A = A ./ SUM_A;
    % MATLAB在矩阵的运算中,“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法,对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*”
    % 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
    
    disp('算术平均法求权重的结果为:');
    disp(sum(Stand_A,2) / n)
    % 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量,然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦)
    
    
    
    % % % % % % % % % % % % %方法2: 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
    % 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
    Prduct_A = prod(A,2);
    % prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加
    
    % 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
    Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
    % 这里对元素操作,因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方
    
    % 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
    % 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
    disp('几何平均法求权重的结果为:');
    disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
    
    
    % % % % % % % % % % % % %方法3: 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
    % 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法:
    % (1)E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。
    % (2)[V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。(V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量)
    [V,D] = eig(A);    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
    Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~
    
    % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
    % 下面例子来自博客:https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html
    % 关于find函数的更加深入的用法可参考原文
    % >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6];
    % >> ind = find(X)
    % ind =
    %    1     3     4     8     9
    % 其有多种用法,比如返回前2个不为0的元素的位置:
    % >> ind = find(X,2)
    % >> ind =
    %     1     3
    %若X是一个矩阵,索引该如何返回呢?
    %  >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6]
    %  X =
    %   1    -3     0
    %   0     0     8
    %   4     0     6
    %  >> ind = find(X)
    % ind =
    %      1
    %      3
    %      4
    %      8
    %      9
    % 这是因为在Matlab在存储矩阵时,是一列一列存储的,我们可以做一下验证:
    %  >> X(4)
    %  ans =
    %     -3
    % 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢?
    % [r,c] = find(X)
    % r =
    %      1
    %      3
    %      1
    %      2
    %      3
    % c =
    %      1
    %      1
    %      2
    %      3
    %      3
    % [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素
    % r =
    %      1
    % c =
    %      1
    
    % 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0
    % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算,共有三种运算符:大于> ;小于< ;等于 ==  (一个等号表示赋值;两个等号表示判断)
    % 例如:A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵,矩阵元素要么为0,要么为1(A中每个元素和2比较,如果大于2则为1,否则为0)
    [r,c]=find(D == Max_eig , 1);
    % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。
    
    disp('特征值法求权重的结果为:');
    disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
    % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。
    
    % % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %
    % 当CR<0.10时,我们认为判断矩阵的一致性可以接受;否则应对其进行修正。
    CI = (Max_eig - n) / (n-1);
    RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
    % 这里n=2时,一定是一致矩阵,所以CI = 0,我们为了避免分母为0,将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
    CR=CI/RI(n);
    disp('一致性指标CI=');disp(CI);
    disp('一致性比例CR=');disp(CR);
    if CR<0.10
        disp('因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
    else
        disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
    end
elseif ERROR == 1
    disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵')
elseif ERROR == 2
    disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0')
elseif ERROR == 3
    disp('A的维数n超过了15,请减少准则层的数量')
elseif ERROR == 4
    disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1')
end

作业

评价下表中20条河流的水质情况。 注:含氧量越高越好;PH值越接近7越好;细菌总数越少越好;植物性营养物量介于10‐20之间最佳,超 过20或低于10均不好。

topsis作业,求出四个指标的权重。

代码结果

请输入判断矩阵A
A=[1 2 1 4;1/2 1 1 5;1 1 1 3;1/4 1/5 1/3 1]
算术平均法求权重的结果为:
    0.3619
    0.2761
    0.2831
    0.0789

几何平均法求权重的结果为:
    0.3645
    0.2725
    0.2852
    0.0779

特征值法求权重的结果为:
    0.3670
    0.2743
    0.2813
    0.0774

一致性指标CI=
    0.0351

一致性比例CR=
    0.0394

因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
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