Bloom Filter 原理及实现

≯℡__Kan透↙ 提交于 2020-02-24 13:05:39

题外话:

    很久没写博客了,因为前一段时间过年在家放假,又因为自己保研了,所以一直比较闲。整个假期,基本都在准备毕业设计的相关内容。我毕业设计的方向是关于搜索引擎的,因此,期间阅读了大量相关论文。阅读了很多论文和技术书籍之后,我有几点感触。首先,发现国内很多论文或是书籍只是大量引述其他人的研究结果,自己的独特的见解非常少,一篇文章,70%的内容都是在以介绍为主,感觉发这样的论文是没有什么意义的。相反,国外尤其是像MIT,斯坦福,google之类的领域专家发表很多极其优秀的论文,阅读后给人一种震撼。我之前在网上搜索技术文章或是论文的时候经常绕过英文的,现在发现国外的确有非常多优秀的外文文章,所以无障碍英文阅读能力是提升自己专业水平的重要因素。 我现在已经逐渐习惯阅读外文文章和书籍。

   期间,我还翻译了一篇关于网络信息采集和索引的外文文章,收获很大。不是因为,我从中获得了多少知识,而是在翻译的过程中,我了解了作者精心的设计思路以及严谨的语言表达,也锻炼了我翻译的能力以及组织语言的能力。

废话不多说了,开始正题,写个在爬虫系统中常用的URL去重经典算法Bloom Filter.

正题:

Bloom Filter概念和原理

引用一篇讲述非常好的文章。http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500,其博客里还有很多关于Bloom filter比较深入的研究,而且博客篇篇都很精彩,非常值得学习。

                                 Bloom Filter概念和原理

焦萌 2007127

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构,它利用位数组很简洁地表示一个集合,并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的:在判断一个元素是否属于某个集合时,有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(false positive)。因此,Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下,Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时,Bloom Filter是一个包含m位的位数组,每一位都置为0

为了表达S={x1, x2,…,xn}这样一个n个元素的集合,Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数(Hash Function),它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x,第i个哈希函数映射的位置hi(x)就会被置为11ik)。注意,如果一个位置多次被置为1,那么只有第一次会起作用,后面几次将没有任何效果。在下图中,k=3,且有两个哈希函数选中同一个位置(从左边数第五位)。   

在判断y是否属于这个集合时,我们对y应用k次哈希函数,如果所有hi(y)的位置都是11ik),那么我们就认为y是集合中的元素,否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合,或者刚好是一个false positive

错误率估计

前面我们已经提到了,Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(false positive rate),下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型,我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时,这个位数组中某一位还是0的概率是:

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的),(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中,需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它,因此这个概率就是(1-1/m)的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算,这里用到了计算e时常用的近似:

ρ为位数组中0的比例,则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下,要求的错误率(false positive rate)为:

(1-ρ)位数组中1的比例,(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域,即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了,现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望,在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ,位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此,第一步的近似得以成立。分别将pp’代入上式中,得:

 

相比p’f’,使用pf通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中,那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢?这里有两个互斥的理由:如果哈希函数的个数多,那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大;但另一方面,如果哈希函数的个数少,那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数,我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用pf进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m)),我们令g = k ln(1 − e−kn/m),只要让g取到最小,f自然也取到最小。由于p = e-kn/m,我们可以将g写成

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2,也就是k = ln2· (m/n)时,g取得最小值。在这种情况下,最小错误率f等于(1/2) (0.6185)m/n。另外,注意到p是位数组中某一位仍是0的概率,所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说,要想保持错误率低,最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是,p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值pf。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)p’ = (1 − 1/m)kn,我们可以将g’写成

 

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时,g’取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看,在不超过一定错误率的情况下,Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素,允许的最大错误率为є,下面我们来求位数组的位数m

假设X为全集中任取n个元素的集合,F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x,在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果,即s能够接受x。显然,由于Bloom Filter引入了错误,s能够接受的不仅仅是X中的元素,它还能够є (u - n)false positive。因此,对于一个确定的位数组来说,它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中,s真正表示的只有其中n个,所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合,进而可以推出,m位的位数组可以表示

   

个集合。全集中n个元素的集合总共有

个,因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合,必须有

即:

上式中的近似前提是nєu相比很小,这也是实际情况中常常发生的。根据上式,我们得出结论:在错误率不大于є的情况下,m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小,这时f = (1/2)= (1/2)mln2 / n。现在令fє,可以推出

这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时,要让错误率不超过єm至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中,我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况,即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素:错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时,会有一定的错误率。也就是说,有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive),但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative)。在增加了错误率这个因素之后,Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom70年代提出Bloom Filter之后,Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年,伴随着网络的普及和发展,Bloom Filter在网络领域获得了新生,各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见,随着网络应用的不断深入,新的变种和应用将会继续出现,Bloom Filter必将获得更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt

 
C++代码实现:
bloom类简单的实现了,add和check操作。 有关更强大的扩展功能,可以参考Google code里面的一个bloom filter库,它支持了有关集合的相关操作。
 1 /* 2  * bloom.h 3  * 4  *  Created on: 2012-2-22 5  *      Author: xiaojay 6  */ 7  8 #ifndef BLOOM_H_ 9 #define BLOOM_H_10 #include <vector>11 #include "hashFun.h"12 13 class Bloom14 {15 public :16     Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist );17     ~Bloom();18     void add(const char * text);19     bool check(const char * text);20 21 private :22     const static int CHARBITSIZE = 8;23     int size;24     char * arr;25     std::vector<HashFun*> hashfunclist;26     inline void setbit(long pos);27     inline bool getbit(long pos);28 };29 30 #endif /* BLOOM_H_ */31 32 #include"bloom.h"33 #include<assert.h>34 35 Bloom::Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist)36 {37     assert(hashfunclist.size()>0);38     this->size = size;39     this->hashfunclist = hashfunclist;40     this->arr = new char [size];41 }42 43 Bloom::~Bloom()44 {45     if(this->arr!=NULL)46     {47         delete this->arr;48     }49 }50 51 void Bloom::add(const char * text)52 {53     int nfunc = hashfunclist.size();54     long code = 0;55     for(int i=0;i<nfunc;i++)56     {57         code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);58 59         if(code/CHARBITSIZE>size) return;60         else61         {62             setbit(code);63         }64     }65 }66 67 bool Bloom::check(const char * text)68 {69     int nfunc = hashfunclist.size();70     long code = 0;71     for (int i=0;i<nfunc;i++)72     {73         code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);74         if(code/CHARBITSIZE>size) return false;75         else76         {77             if getbit(code) continue;         else return false;78         }79     }    return true;80 }81 82 inline void Bloom::setbit(long code)83 {84     arr[code/CHARBITSIZE] |= (1<<(code%CHARBITSIZE));85 }86 87 inline bool Bloom::getbit(long code)88 {89     if(!(arr[code/CHARBITSIZE] & (1<<(code%CHARBITSIZE))))90     {91         return false;92     }93     return true;94 }
 
由于hash函数的数量以及类型都不确定,所以我们创建一个抽象类HashFun,自定义的hash函数需要继承并实现其HashFun的gethashval方法。
#ifndef HASHFUN_H_#define HASHFUN_H_class HashFun{public :    virtual long gethashval(const char * key) = 0;};#endif /* HASHFUN_H_ */
 
最后我们写个简单的demo,测试一下。
首先我们自定义两个hash函数HashFunA,HashFunB。
#include "hashFun.h"class HashFunA : public HashFun{public:    virtual long gethashval(const char * key)    {        unsigned int h=0;        while(*key) h^=(h<<5)+(h>>2)+(unsigned char)*key++;        return h%80000;    }};#include"hashFun.h"class HashFunB : public HashFun{public:    virtual long gethashval(const char * key)    {        unsigned int h=0;        while(*key) h=(unsigned char)*key++ + (h<<6) + (h<<16) - h;        return h%80000;    }};
Main函数:
#include<iostream>#include<stdio.h>#include"hashFunA.h"#include"hashFunB.h"#include"bloom.h"#include<vector>using namespace std;int main(){    /*     *    Create two hash functions     */    HashFunA *funa = new HashFunA();    HashFunB * funb = new HashFunB();    vector<HashFun*> hashfunclist;    hashfunclist.push_back(funa);    hashfunclist.push_back(funb);    /*     * Create Bloom object with two parameters :     * size of the store array and list of hash functions     */    Bloom bloom(10000,hashfunclist);    ///Add some words to bloom filter    bloom.add("hello");    bloom.add("world");    bloom.add("ipad");    bloom.add("iphone4");    bloom.add("ipod");    bloom.add("apple");    bloom.add("banana");    bloom.add("hello");    /*     * Test     */    char word[20];    while(true)    {        cout<<"Please input a word : "<<endl;        cin>>word;        if(bloom.check(word))        {            cout<<"Word :"<<word<<" has been set in bloom filter."<<endl;        }        else        {            cout<<"Word :"<<word<<" not exist !" <<endl;        }    }    return 0;}
 
总结:
  Bloom Filter的基本实现很简单,但是其原理和思路是非常出色的。这个可以应用到URL去重或是某些缓存系统上。在很多面试题里面,也会出现类似大数据量下去重或是筛选的问题,采用Bloom Filter算法就可以很轻松的解决了。
 
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