MIT18.06线性代数(5) 行列式与马尔科夫矩阵和傅里叶级数的理解

拜拜、爱过 提交于 2020-02-21 06:34:13
  • 行列式是一个数字。
  • 行列式能尽可能的把矩阵的信息表示出来。比如行列式为0矩阵不可逆。
  • 交换行或者列行列式变符号,这意味着交换矩阵它的行列式是1或者-1.因为交换矩阵可以把其他矩阵的行列交换。
  • 行或者列乘个t,那么整个行列式的值需要乘个t。
  • 行列式每行都有可加性
  • 在这里插入图片描述
  • A1=1detAAA^{-1}=\frac 1 {det A} A^*,其中AA^*是伴随矩阵(当前元素是即去掉当前行当前列的矩阵行列式值)
  • 行列式值等于当前行的各元素与对应代数余子式的线性加权和。

克拉默法则(Cramer’s Rule)求Ax=b中的x就是利用伴随矩阵求A1A^{-1},然后x=A1bx=A^{-1}b

行列式的绝对值是行向量那几条边构成的几何体的体积(如果是二维那就是面积)。

特征值

  • 特征值之和等于对角线元素之和
  • 求特征值det(AλI)=0det(A-\lambda I)=0
  • 越部队称的矩阵特征值越可能是复数
  • 特征值不同特征向量一定不线性相关,但是特征值相同不一定特征向量线性相关。

根据特征值和特征向量构造对角矩阵

  • 矩阵对角化,本质就是利用Ax=λx这个来构造对角矩阵。它构造的对角矩阵的等式为为AS=SΛ.其中Λ是对角矩阵(对角线是特征值),S是特征向量构成的矩阵。如果S可逆(即各个特征向量都不线性相关)那么有:S1AS=ΛS^{-1}AS=Λ。我们也可以得到一种新的矩阵分解方式:A=SΛS1A=SΛS^{-1},这种分解的用处是可以求矩阵的幂因为A3=SΛ3S1A^3=SΛ^3S^{-1}.
    左边为(其中x为特征向量):
    在这里插入图片描述
    右边为:
    在这里插入图片描述

马尔科夫矩阵

矩阵稳定性就是看矩阵的幂是否趋于0,也就是说特征值都的绝对值是不大于1的。或者证明uk+1=Auku_{k+1}=Au_{k}

满足两条性质

  • 所有元素大于0
  • 每列各元素和等于1.
  • 有一个特征值是1

傅里叶级数

f(x)=a0+a1cosx+a2sinx+a3cos2x+...f(x)=a_0+a_1cosx+a_2sinx+a_3cos2x+...,它本质可以视作无穷个正交向量的线性组合。傅里叶级数它要确定a0,a1,a2...a_0,a_1,a_2...这些系数的值。
注意:两个函数的内积fTg=f(x)g(x)dxf^Tg=\int f(x)g(x)dx
那怎么确定系数值呢?比如我要求a1a_1那么我两边点乘个cosx,这样就右边只剩下cosx这个项,其他项都是0(因为其他都是相互正交所以是0)。我们用公式表示下这个是什么意思:
02πf(x)cosxdx=0+02πa1cos2xdx\int_0^{2\pi} f(x)cosxdx=0+\int _0^{2\pi} a_1cos^2xdx

参考:(https://www.bilibili.com/video/av15463995/?p=24)

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