光栅图形学——直线段的扫描转换算法

馋奶兔 提交于 2020-02-20 04:42:51

   数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合,显然,光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时,需要在显示器有限个象素中,确定最佳逼近该直线的一组象素,并且按扫描线顺序,对这些象素进行写操作,这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换

一、数值微分(DDA)算法

1、算法原理

     根据直线方程y=kx+b,由两个直线的端点(x0,y)(x1y1)可求得斜率k。可以将变量x设定初值为x0,y初值y0。每次x步进1,同时使y步进k,可获得表示直线的所有近似的结果集。

2、算法实现

3、补充

     这个算法只适合|k|<=1的情况。在|k|>1时,必须交换x和y的位置,y每增加1,x增加1/k。

     在这个算法中,y和k必须用浮点数来表示,每一步都要对y进行四舍五入后取整,不利于机器实现

二、中点划线法

1、算法原理

     在直线斜率在0~1直接的情况下,设当前像素点为(x,y),那么它的下一个像素点就是p1(x+1,y)或者p2(x+1,y+1),若称p1和p2的中点M(px+1,y+0.5),Q为理想直线与x+1垂线的交点,当Q在M的下方时,p1即为下一个像素点,否则p2即为下一个像素点。

     下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0,其中,a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0,欲判断中点M在Q点的上方还是下方,只要把M代入F(x,y),并判断它的符号即可。为此,我们构造判别式:

d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c

     当d<0时,M在L(Q点)下方,取P2为下一个象素;

     当d>0时,M在L(Q点)上方,取P1为下一个象素;

     当d=0时,选P1或P2均可,约定取P1为下一个象素;

注意到d是xp, yp的线性函数,可采用增量计算,提高运算效率。

    若当前象素处于d³0情况,则取正右方象素P1(xp+1, yp),要判下一个象素位置,应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a,增量为a。

    若d<0时,则取右上方象素P2(xp+1, yp+1)。要判断再下一象素,则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ,增量为a+b。画线从(x0, y0)开始,d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b,因  F(x0, y0)=0,所以d0=a+0.5b。

    由于我们使用的只是d的符号,而且d的增量都是整数,只是初始值包含小数。因此,我们可以用2d代替d来摆脱小数,写出仅包含整数运算的算法程序。

2、算法实现

三、Bresenham算法

1、算法原理

    过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点,然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算,使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号,就可以确定该列的所求象素。

    如图所示,设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi,其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi+1,而行坐标要么为yi,要么递增1为yi+1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。一旦  d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时,直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当d<0.5时,更接近于右方象素(xi+1,yi)。为方便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。当e≥0时,取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当e<0时,取(xi,yi)右方象素(xi+1,yi)。

2、算法实现

     上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换:2*e*dx。那么可以改进如下

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