Z-Algorithm详解

Z-Algorithm详解

0.前言

给你一个文本串$t$和一个模式串$p$，让你寻找$p$在$t$中出现的所以位置。

例如，$t="abacababac"$，$p="aba"$，那么$p$在$t$中出现了$3$次，起始位置在$t$中的下标分别是$1$，$5$，$7$。

很显然可以想到$O(|t|*|p|)$的暴力算法，即以每一个位置为起始位置，暴力匹配每一个字符。但是如果$t$和$p$的长度都是$10^5$级别的就会超时，我们需要更高效的方法。在中国有一个$KMP$算法比较流行，但是我个人比较喜欢$Z-algorithm$。这里我给大家讲一下这个。

1.一些函数的定义

我们定义$z_i(s)$为对于所有的$2 \leq i \leq |s|$，以$i$开头的子串和$s$的最长公共前缀的长度

如：

$s="aba"$，那么$z_3(s)=1$（以$3$为起始位置，能够匹配$s$长度为$1$的前缀$"a"$，但匹配不了长度为$2$的前缀$"ab"$)。

$s="abcabcab"$，那么$z_4(s)=5$

$s="abacababaca"$，那么$z_5(s)=3, z_7(s)=5$

2.如果已知$z_i$的值如何求出答案

我们将$p$粘在$s$的前面，中间用一个字符（如下划线）隔开，可以得到一个字符串$s$。我们假设我们已经知道了所有$z_i(s)$的值，那么怎么求出答案呢。

我们可以扫描$s$串中从$|p|+2$一直到$|p|+|t|+1$的位置$i$，也就是原来的$t$字符串的位置，然后判断$z_i(s)$是否等于$p$字符串的长度。如果等于，那么在以$t$字符串的这个位置就可以匹配$p$字符串。

为什么这个方法是正确的？

首先，根据$z_i(s)$的定义，它表示以$i$开头的子串和$s$的最长公共前缀的长度。我们知道，$s$是由$p$粘在$t$的前面得到的，因此$s$的前缀实际上就是$p$字符串，而又因为我们$p$和$t$之间用一个字符隔开，所有$z_i(s)$的值永远不可能大于$|p|$。这样我们就知道如果$z_i(s)=|p|$就表示匹配成功。

3.怎样求出$z_i$

我们首先定义一个$box_i$为区间$[i,i+z_i-1]$。我们假设当前我们在计算$z_i(s)$的值，那么我们定义$[l,r]$为$box_2,box_3,\dots,box_{i-1}$中最靠右的$box$的左右端点。

那么有以下几种情况：

1.若$i \gt r$，则证明前面的所有的$box_j$和我们没有任何关联，我们无法利用，同时也证明$box_i$一定是最靠右的，更新$l=i$，$r=i+z_i-1$，暴力匹配就行了。

2.若$i \leq r$，则令$i'=i-l+1$，因为$i$位于$[l,r]$内，则我们知道$s_l,s_{l+1},\dots,s_r$应该与$s_1,s_2,\dots,s_r$匹配。因此我们可以将$[l,r]$平移到$[1,r-l+1]$上去，$i'$其实就是$i$在这段区间中的对应位置。因此我们可以根据$z_{i'}(s)$的数值来计算$z_i(s)$，我们令$\beta=r-i+1$。

下面我们又可以分出两种情况：

$(1)$ $z_{i'}(s)<\beta$。即$box_{i'}$这个位置控制的右端点并没有超过$r$，直接令$z_i=z_{i'}$，$l,r$保持原样。

$(2)$ $z_{i'}(s)\geq\beta$。$box_{i'}$的右端点超过了超过了$[l,r]$对应的前缀。因为我们仅仅知道$s_l,s_{l+1},\dots,s_r$与$s_1,s_2,\dots,s_r$匹配，还不知道后面的部分。因此我们更新$l=i$，继续暴力匹配后面的长度，匹配完成后更新$z_i=r-l$。

4.时间复杂度

我们发现$r$是单调递增的，因此时间复杂度也是线性的。（类似于$two\ pointers$)。

5.完整代码

$Z-Algorithm$的完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,z[200005];
char t[100005],p[100005],x[200005];
inline void Z_algorithm(){
	memset(z,0,sizeof(z));
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(i<=r)	z[i]=min(z[i-l],r-i);
		while(i+z[i]<n&&x[z[i]]==x[i+z[i]])	z[i]++;
		if(i+z[i]>r){
			l=i;
			r=i+z[i];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%s%s",t+1,p+1);
	for(int i=1;i<=strlen(p+1);i++)	x[n++]=p[i];
	x[n++]='_';
	for(int i=1;i<=strlen(t+1);i++)	x[n++]=t[i];
	Z_algorithm();
	vector<int> ans;
	for(int i=strlen(p+1)+1;i<n;i++)
		if(z[i]==strlen(p+1))
			ans.push_back(i-strlen(p+1));
	for(int i=0;i<ans.size();i++)	printf("%d ",ans[i]);
}

6.例题

$Codeforces\ 126B - Password$

思路：扫一遍，判断是否合法即可。$Z-algorithm$的基础题，建议没接触过$Z-algorithm$的先做这道题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000005];
int n,z[1000005];
inline void Z_algorithm(){
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(i<=r)	z[i]=min(z[i-l],r-i);
		while(i+z[i]<n&&s[i+z[i]]==s[z[i]])	z[i]++;
		if(i+z[i]>r){
			l=i;
			r=i+z[i];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%s",s);
	n=strlen(s);
	Z_algorithm();
	int maxx=0,pos=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(z[i]==n-i&&maxx>=n-i){
			pos=i;
			break;
		}
		maxx=max(maxx,z[i]);
	}
	if(!pos)	puts("Just a legend");
	else
		for(int i=0;i<n-pos;i++)
			putchar(s[i]);
}

$Codeforces\ 427D - Match\&Catch$

思路：将$s$的每个后缀接在$s$的前面，用一个字符隔开。再将得到的字符串接在$t$的前面，用一个字符隔开，对这个字符串进行$Z-algorithm$，求出$z_i$中最大值和次大值，判断一下就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,tot;
char s[5005],t[5005],x[15005];
int z[15005],ans=INT_MAX;
inline void Z_algorithm(){
	memset(z,0,sizeof(z));
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<tot;i++){
		if(i<=r)	z[i]=min(z[i-l],r-i);
		while(i+z[i]<tot&&x[z[i]]==x[i+z[i]])	z[i]++;
		if(i+z[i]>r){
			l=i;
			r=i+z[i];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%s%s",s+1,t+1);
	n=strlen(s+1),m=strlen(t+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(x,0,sizeof(x));tot=0;
		for(int j=i;j<=n;j++)	x[tot++]=s[j];
		x[tot++]='$';
		for(int j=1;j<=n;j++)	x[tot++]=s[j];
		x[tot++]='#';
		for(int j=1;j<=m;j++)	x[tot++]=t[j];
		Z_algorithm();
		z[n+1]=0;
		int f=0,g=0,idx=-1;
		bool good=false;
		for(int j=1;j<tot;j++){
			if(z[j]>f){
				g=f;
				f=z[j];
				idx=j;
				good=1;
			}
			else if(z[j]==f)	good=0;
			else if(z[j]>g)		g=z[j];
		}
		if(good&&idx>2*n-i+1)	ans=min(ans,g+1);
	}
	if(ans==INT_MAX)	puts("-1");
	else				cout<<ans<<endl;
}

$Codeforces\ 526D - Om Nom and Necklace$

思路：对整个字符串进行一次$Z-algorithm$，然后枚举$A-B$段的长度，判断一下即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,a[1000005],z[1000005],sum=0;
char x[1000005];
inline void Z_algorithm(){
	memset(z,0,sizeof(z));
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(i<=r)	z[i]=min(z[i-l],r-i);
		while(i+z[i]<n&&x[z[i]]==x[i+z[i]])	z[i]++;
		if(i+z[i]>r){
			l=i;
			r=i+z[i];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%s",&n,&k,x);
	Z_algorithm();
	for(int len=1;len*k<=n;len++){
		if(z[len]>=len*(k-1)){
			a[len*k]++;
			a[min(len*k+len,len+z[len])+1]--;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum+=a[i];
		if(sum>0)	putchar('1');
		else		putchar('0');
	}
}

$Codeforces\ 1200E - Compress Words$

话说这是$6$天前刚比完的一场$Div.2$的$E$

思路：对于每一个字符串，以它作为模式串$p$，并取当前答案的后$min(ans.size(),s[i].size())$位所为文本串$t$，进行$Z-algorithm$，最后判断一下是否有位置$i$使得$i+z_i=t.size()$即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,z[1000005];
string s[100005],ans,x;
inline void Z_algorithm(){
	int l=0,r=0;
	for(int i=1;i<x.size();i++){
		z[i]=0;
		if(i<=r)	z[i]=min(z[i-l],r-i);
		while(i+z[i]<x.size()&&x[i+z[i]]==x[z[i]])	z[i]++;
		if(i+z[i]>r){
			l=i;
			r=i+z[i];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>s[i];
		x=s[i]+"_"+ans.substr(ans.size()-min(ans.size(),s[i].size()));
		Z_algorithm();
		int maxx=0;
		for(int j=s[i].size()+1;j<x.size();j++)
			if(z[j]==x.size()-j)
				maxx=max(maxx,z[j]);
		ans+=s[i].substr(maxx);
	}
	for(int i=0;i<ans.size();i++)	putchar(ans[i]);
}

7.更多练习题

$Z-algorithm$的更多练习题，大家有时间尽量做哦：

CF119D String Transformation
CF631D Messenger
CF535D Tavas and Malekas
CF955D Scissors
CF149E Martian Strings

来源：https://blog.csdn.net/weixin_43217244/article/details/99691577