拉普拉斯变换了解一下—复变函数与积分变换学习笔记

倾然丶 夕夏残阳落幕 提交于 2020-02-13 00:47:05

What is 拉普拉斯变换?
先放一张Matlab绘制的很有立体感的图,我们后面会了解。
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初学时我可看不大明白,因为得先明白什么是傅里叶变换,再放图
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傅里叶变换的真理就是任何一个原始的周期性(非周期性可以在T趋于\infty时变成周期性)函数,可以由多个正余弦波叠加来近似。它实质是是频域函数和时域函数的转换
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一.
引入拉氏变换的实际背景:
傅氏变换必须在整个实轴上有定义,但在工程实际问题中,许多以时间t为自变量的函数在时间t<0时是无意义的。通常在信号与系统中用到的就是这种单边拉普拉斯变换(有时也将t=0_考虑进去),也就是因果信号(含有输入信号和输出信号的信号系统)的拉氏变换。

1.1定义
傅里叶正变换:

F(ω)F(ω) = F[f(t)]\mathscr{F}[f(t)] = +f(t)ejωtdt\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt

在傅氏变换的基础上,去掉t<0时的实轴范围,并对于复参数s=β+jω,
则有积分:

F(S)F(S) = L[f(t)]\mathscr{L}[f(t)] = 0+f(t)estdt\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt

我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换
反之f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换

例:

我们引入一个单位阶跃函数 u(t)u(t)(初学复变时做题经常不认识了的函数),来求她的拉氏变换。
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L[u(t)]=0+u(t)estdt=1s(Res>0)\mathscr{L}[u(t)]=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}\qquad(Re s > 0)
用数形结合来表示:

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图中彩色螺旋即este^{-st},现在令f(t)=u(t)f(t)=u(t),用阶跃函数来乘este^{-st}
得出来的结果如图

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这时再取积分就得到了如下图中白色箭头所指的值1s\frac{1}{s},也就是特定值s的拉普拉斯变换值。

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但如果这个积分的结果是无限,那么我们就认为该特定值为s时,函数的波形不存在拉普拉斯变换,因为当s的实部为一个趋于无穷小的负数,则会出现这样的情况

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积分结果将会是无穷大,所以去掉s < 0的区域,这样一来一开始的那张图就变成了

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这就是为什么积分下限换成从0到无穷大。

1.2与傅氏变换的关系

通过刚才引入的阶跃函数u(t)u(t)我们就能将积分上下限换为负无穷到正无穷,并找到拉氏变换和傅氏变换的关系了。

F(S)F(S) == L[f(t)]\mathscr{L}[f(t)] == 0+f(t)estdt\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt = +f(t)u(t)eβtejωtdt\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-βt}·e^{-jωt}dt\qquad (1)
        \,\,\,\,\,\,\,\,\quad== F(β+jω)F(β+jω) == L[f(t)u(t)eβt]\mathscr{L}[f(t)u(t)e^{-βt}] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

傅里叶逆变换:

f(t)f(t) == 12π+F(ω)ejωtdω\frac{1} {2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jωt}dω

将式1代入傅氏逆变换有

f(t)u(t)eβt=12π+F(β+jω)ejωtdωf(t)u(t)e^{-βt}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(β+jω)e^{jωt}dω

两边同乘ejωte^{jωt},并令s=β+jω
则有

f(t)u(t)=12πjβjβ+jF(s)estdsf(t)u(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds

阶跃函数u(t)也就是t>0式为1,去掉

即拉普拉斯变换的反演积分公式 f(t)=12πjβjβ+jF(s)estdsf(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds(t>0)\qquad(t>0)

二.
总结一些重要性质

2.1 线性性质

L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)\mathscr{L}[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)

L1[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)\mathscr{L}^{-1}[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)

应用:可以快速求解cosωt\cosωtsinωt\sinωt的拉氏变换

2.2 相似性质

L[f(αt)]=1αF(sα)\mathscr{L}[f(αt)]=\frac{1}{α}F(\frac{s}{α})

2.3 微分性质

L[f(t)]=sF(s)f(0)\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)

L[f(n)(t)]=snF(s)sn1f(0)sn2f(0)f(n1)(0)\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\,···\,-f^{(n-1)}(0)

应用:求解微分方程组的初值问题;求解幂函数f(t)=tmf(t)=t^m之类的拉氏变换

2.4 像函数的导函数

F(s)=L[tf(t)]F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]
F(n)(s)=(1)nL[tnf(t)]F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\,\mathscr{L}[t^nf(t)]

应用:求tsinωtt\sinωtt2cos2tt^2cos^2t之类的拉氏变换

2.5 积分性质

L[0tf(t)dt]=1sF(s)\mathscr{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)

L0tdt0tdt[0tf(t)dt]=1snF(s)\mathscr{L}{\int_0^tdt}{\int_0^tdt\,···\,}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)

应用:求函数f(t)=sinttf(t)=\frac{sint}{t}之类的拉氏变换,当式中s取一些确定的数,可以用来求一些函数的反常积分(广义积分(也就高数上考的最多的积分))

2.6 像函数的积分

sF(s)ds=L[f(t)t]\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}]

sdssdssF(s)ds=L[f(t)tn]\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\,···\,\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]

2.7 延迟性质与位移性质

L[f(tτ)]=esτF(s)\mathscr{L}[f(t-τ)]=e^{-sτ}F(s)

应用:顾名思义可以用来求sin(tπ2)\sin(t-\frac{\pi}{2})之类的拉氏变换,解出来就是辣个答案

三.
基本的数学概念了解了后,再接触一点拉氏变换的物理意义。
我们已经知道傅氏变换将信号分成时域和频域两个方面,而拉氏变换将频率ω变成复频率s,从而不仅能刻画函数的振荡频率,而且还能描述振荡频率的增长(或衰减)速度,这也是拉氏变换和傅氏变换的区别。

s的虚部越大,振荡频率增长得越快。
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s的实部越大,波形振荡幅度越大。
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References:
[1]复变函数与积分变换(第五版)
[2]直观解释-拉普拉斯变换 https://www.bilibili.com/video/av26328393?from=search&seid=14296184891945561564

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