第一讲：线性空间的概念与性质

一、线性空间

1.集合的相关知识

（1）空集：∅
（2）有理数集：Q
（3）实数集：R
（4）复数集：C

2.数域

设F是一个非空数集，且0,1∈F，若对F中任意元素a和b，有 a+b∈F，a-b∈F，a·b∈F，a/b(b≠0)∈F，则称F为数域。
即：数域就是对加、减。、乘、除四则远算封闭的非空数集。
如：实数集R、复数集C

3.线性空间

设F是一个数域，V是一个非空集合：
对F中任意元素α与β，定义加法运算“+”，且有α+β∈V
对F中任意元素k，以及V中任意元素α，定义数乘运算“·”，且有k·α∈V

若加法运算和数乘运算满足以下性质，则称V为数域F上的线性空间，记为V(F)。
加法满足：
（1）交换律：α + β = β + α
（2）结合律：（α + β） + γ = α +（β + γ）
（3）零元：V中存在的一元素，记为0，使得对V中任意元素α，均有0+α = α
（4）负元：对v中任意元素α，均存在元素β，使得α + β = 0，记为α = -β
乘法满足：
（1）结合律：对任意的K、l∈F，α∈V，有（kl）α = k（lα）
（2）对V中任意元素α，有1·α = α
（3）分配律：对任意的K、l∈F，α∈V，有（k+l）α = kα + lα
（4）分配律：对任意的k∈F，α、β∈V，有k（α + β） =k α + kβ
注：
1）线性空间V(F)中的元素称为向量
2）当数域F是实数域，称V(F)是实线性空间
当数域F是复数域，称V(F)是复线性空间

二、线性空间的性质

1.线性空间V(F)中的零元唯一
2.线性空间V(F)中的负元唯一
3.对于线性空间V(F)中任意α，有0·α = 0 （1）·α= -α
4.对于数域F中的任意数K，有k·0 = 0

来源：CSDN

作者：jjjstephen

链接：https://blog.csdn.net/jjjstephen/article/details/104199945