第四章 二元关系和函数 4.5(1)等价关系

天大地大妈咪最大 提交于 2020-02-05 04:03:07

4.5(1)等价关系

等价关系用来研究元素中分类的特征。
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例如集合上的恒等关系和全域关系这些都是等价关系。

例题:
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这里将“同一门课”具体到特定的一门课就是等价关系了。
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书上的模n同余是经典的等价关系,下边我们来证明:
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我们引入等价类的概念:
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即把在某种关系下彼此等价的元素放在一个集合中。

例题:
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等价类有以下性质:
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现在我们再把等价类作为元素构造一个集合:
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例题:
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定义等价的关系是为了来分类,那么分类又是怎样来定义的呢?
我们引入我们生活中分类常用的概念:覆盖和划分。
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可见,覆盖是允许子集之间的重合的。而划分在覆盖的基础上要求子集之间不能有重合。

例题:
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现在我们把划分和等价类连起来:
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集合A上的等价关系与集合A的划分是一 一 对应的。

那么给出一个划分我们怎么逆推出等价关系呢?我们给出以下方法:
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例题:
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练习1:
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解析:
集合有多少不同划分,就有多少不同等价关系。分别是{{1},{2},{3}};{{1},{2,3}};{{1,3},{2}};{{1,2},{3}};{{1,2,3}};

练习2:
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练习3:
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