向量的两个基本属性：方向（向量运动的方向）大小（向量运动的速度大小）；

向量定义

向量（vector）指有大小（magnitude）和方向的量；

数学表示

代数表示：
- 一般印刷用黑体小写英文字母a、b 等来表示，手写在字母上加一箭头（→）表示；
- 或用大写字母AB、CD 上加一箭头（→）表示；
几何表示：向量可以用有向线段来表示；
- 有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也是向量的长度；
- 长度为 0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量；
坐标表示：
- 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底；
- a 为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a 的坐标表示。其中(x,y) 就是点P 的坐标。向量a 称为点P 的位置向量。
- 三维、多维空间直角坐标同理；

相等、平行向量

相等向量：方向和长度都相等的向量；more
平行向量：方向相等或相反的向量；※ 零向量与任何向量平行；more

如下图，a 、b 、c 相互平行；

零向量

即大小为零的向量，但它仍有方向，方向任意，仍是一条有向线段，仍具向量的所有属性；

向量运算

线性代数中有两个基本的向量运算

向量加法；
标量向量乘法（向量数乘）;

向量加法

Vector Addition：设有向量u 和 v，两者向量相加得 u+v；

【三角形法则】即使 v 的尾点与 u 的始点重合来构造，也可是从 u 的尾点与v的始点重合来构造的；
向量减法同理，取v的反向向量-v与u做向量加法；

标量向量乘法

Scalar Vector Multiplication：当向量v 与标量 k 相乘时，得到了与 v 平行的向量kv，其长度为 |k||v|;

如果 k 是负数，则 kv 的方向与 v相反；
如果k=0，则 kv 为零向量；

在这里插入图片描述
【应用】三维向量坐标：
通过使用三个互成直角的向量来创建一个 Box (三维向量坐标），如果这三个向量取基向量，则这个 Box 的长宽高取决于每个基向量的数乘；

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向量运算性质

Properties of Vector Arithmetic：
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【应用】中点公式

The Middle Point Formula：
假设点 M 是介于线段 AB 的中点，有另一点 O ，则向量 OM，可写为

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用中点公式实现谢尔宾斯基三角形：
Sierpinski Triangles：
假设有一个由三个点组成的三角形，利用中点公式计算每个边的中点，这些中点可以连接成四个新的三角形，其中中心三角形是空的。如果对每个新的非空三角形重复这个过程，就会得到谢尔宾斯基三角形；在这里插入图片描述