线性代数-MIT-第11讲

1.新向量空间的基

矩阵构成向量空间：

以3x3矩阵构成的空间M为例，加法和数乘仍停留在3x3的矩阵空间中，

存在若干种子空间，如对称矩阵的子空间，上三角阵子空间，下三角阵子空间，

那子空间的基和维度是多少？

整个3x3矩阵空间的维度是9，基是九个数分别为1其他为零的矩阵；

对称矩阵的维度是6，上三角阵的维度是6，下三角阵的维度是6，对角阵维度是3；

对称矩阵空间S,上三角阵空间U,则两则交集仍是子空间维度是3，并集则不是，

但S+U,即对称矩阵空间取一元素与上三角阵取一元素求和，则得到向量空间，即3x3矩阵空间；

S+U的维度是9，则dim(S+U)=dim(S)+dim(U)-dim(二者交集)；

微分方程构成向量空间：

该方程的解是什么？y=cosx和y=sinx、

都是一个解；

一个微分方程的零空间或者说解空间，该空间即是微分方程所有的解；

完整解即

,则该解空间的维度和基是什么？

一组基是cosx和sinx,维度是2；

线性微分方程的一个重要内容就是寻找解空间的一组基；

秩为1的矩阵：简单

dim(C(A))=rank=dim(A的转置)=1

所有秩为1的矩阵都可以写成：

一列乘以一行的形式,列向量乘以行向量，即主列乘以倍数；

举例，空间S是所有四维向量满足，各分量之和等于0，即

;

即Av=0，即空间S是矩阵A=[1 1 1 1 ]的零空间；即零空间的维数等于4-1=3；

线性代数和图论的关系

图是结点和边的集合，边联通各个结点；

来源：CSDN

作者：安心爱吃糖

链接：https://blog.csdn.net/weixin_32574873/article/details/103826803

标签