线性代数学习笔记

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1 矩阵

1.0 矩阵的基本概念

首先需要了解基本的东西,矩阵.

定义一个矩阵\(A\)有\(m\)行\(n\)列,那么可以写成:
\[ \begin{matrix} A_{1,1}\ A_{1,2}\cdots A_{1,n}\\ A_{2,1}\ A_{2,2}\cdots A_{2,n}\\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ A_{m,1}\ A_{m,2}\cdots A_{m,n}\\ \end{matrix} \]
我们还可以定义矩阵的数乘为\(\lambda A\),相当于是给矩阵中所有的元素都乘上一个数字.

然后矩阵有如下性质:

1. 结合率: \(ABC=A(BC)\)
2. 数乘结合律: \(\beta(\lambda A)=\beta\lambda A\)
3. ...(自行百度)

有一些特殊的矩阵,我们称之为\(I\),\(0\).

• \(I\),单位矩阵,就是对角线全是\(1\),其他位置都是\(0\)的矩阵.
• \(0\),零矩阵,就是所以位置都是\(0\)的矩阵.

1.1 矩阵的逆,矩阵的秩

矩阵的逆,就是存在一个矩阵\(A^{-1}*A=I\),我们就称\(A^{-1}\)为\(A\)的逆矩阵.

矩阵的秩\(A^{T}\),定义就是\(A^{T}(i,j)=A(j,i)\).

有一些比较重要的性质,就是:

1. \(A^{-1^T}=A^{T^{-1}}\)
2. \((AB)^{T}=B^TA^T\)
3. \((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)

1.2 矩阵的运算

加法就是对应位置加,减法就是对应位置减,乘法就是对应位置乘

矩阵的乘法,有如下定义:\(A\)矩阵为\((m,n)\),\(B\)矩阵为\((n,p)\).\(C=A*B\)

1. \(C(i,j)\)为\(A\)的第\(i\)个行向量内积\(B\)的第\(j\)个列向量.
2. C的第i行向量又等于A的第i行向量*\(B\)。
3. 所以C的第i列向量又等于\(A\)*(\(B\)的第\(i\)列向量)。
4. 最难理解的一条:C = ΣAi*Bi(Ai为A的第i列形成的矩阵,Bi为B的第i行
   形成的矩阵,式中∗为矩阵乘法)

第4条的话,直接把矩阵乘法拆开然后交换一下\(\sum\)就行了.

未完待续.

来源：https://www.cnblogs.com/fexuile/p/12189731.html