浅谈树的直径

定义：

　　树的直径指树上最长链（最远点对）

求解：

　　树的直径存在两种求解方式均为O（n）复杂度，其各有优劣

1.贪心法

　　任取一点作为起点，找到树上距离该点的最远点，记作st，再以st为起点，找到树上距离st最远的点，记作ed，st至ed即为树的直径。

　　（找最远点操作DFS和BFS均可）

　　优点：起点与终点方便获得。

　　缺点：负边权就GG。

inline void dfs(int now,int fa,int deep)
{
    if(deep>res)
    {
        res=deep;
        ed=now;
    }
    f[now]=fa;
    dep[now]=deep;
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    {
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs(t,now,deep+a[i].val); 
    }
}
dfs(1,0,0);
res=0;
st=ed;
dfs(st,0,0);

2.树型DP

　　任取一点作为起点，记录树上每一点向下的最远距离和非严格次远距离，直径长度即为每一点二者之和的最大值。

　　优点：能处理负边权。

　　缺点：起点终点难以记录。

inline void dfs(int now,int fa)
{
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    {
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs(t,now);
        res=max(res,dp[now]+dp[t]+a[i].val);
        dp[now]=max(dp[now],dp[t]+a[i].val);
    }
}

性质：

　　1.直径两端点一定是叶子节点。

　　2.距任意点最远点一定是直径的端点，据所有点最大值最小的点一定是直径的中点。

　　3.两棵树相连，新直径的两端点一定是原四个端点中的两个

　　4.两棵树相连，新直径长度最小为max(max(直径1，直径2)，半径1+半径2+新边长度 ) （设k为直径中最接近中点的节点，半径=max(tot-d[k],d[k])）

　　5.一棵树上接一个叶子结点，直径最多改变一个端点

　　6.若一棵树存在多条直径，多条直径交于一点，且交点是直径的严格中点（中点可能在某条边内）

例题：

　　前言：树的直径姿势点主要考察各种性质的应用，灵活运用各种性质即可切题。

　　洛谷P3629APIO 2010巡逻

　　题目概述：有一棵树，要求我们在树上加上1~2两条边，使遍历每一条路时经过的路径最短，关于路径，有以下几个要求

　　1.新建的边必须正好经历一次

　　2.新边可以是自环

　　3.遍历后回到起点

　　分析：既然要回到起点，在无环情况下，每条边必然要走两遍，路径长度为2*n-2；

　　对于k=1的情况，一个贪心的想法必然是让树上最长边形成一个环，所以求一遍树的直径即可，设树的直径长度为res，路径长度变为2*n-2-res+1；

　　而对于k=2的情况，在加完第一条边后，必然要找第二条最长的边

　　然而在找第二条最长边的时候我们发现：若第二条边与第一条边有重叠部分，那么重叠部分就要再走一次，相当于减少了第一次的贡献

　　同时，由于建立新边是为了防止一条边被第二次遍历，第一条最长边选中的部分本身遍不用第二次遍历，所以该边对于最长边的贡献本就应是零

　　综合本来的贡献和减少的第一次贡献，改变对于第二次求最长边的贡献应该是边权的负值XD，此时我们应该将第一条最长边的边权全部取反，再找一条最长边。

　　在取反后，树上遍有了负边权，我们需要采取树型DP求第二条最长边，而且由于需要取反第一条最长边，我们需要第一条最长边的路径，第一条适合用dfs求最长边

　　总结：该题目综合考察了DFS求树的直径和树型DP求树的直径的优点。

　　洛谷P2491 SDOI2011消防

　　题目概述：在一颗树上选取一段区间，长度小于m，使得所有节点到该区间的最大值最小。

　　分析：由性质2：据任意点最大值最小的点一定是直径的中点可知：中点必然入选。

　　再考虑将中点扩展为区间：据任意点最远点一定是直径的中点可知，若扩展为区间，在直径上扩展一定是最优的

　　可反证：若存在另一点到直径上一点距离大于直径端点到直径上一点距离，那么将会产生新的直径。

　　现在问题转化为在直径上选取一段区间长度小于m，使得任意一点到这段区间的最大值最小；

　　我们可以预处理出其他节点到达直径的最远距离，一次为l，以直径长度为r，二分答案（判断根据性质2只需判断该区间到直径端点距离是否小于mid）

　　近一步我们可以双指针法直接求答案

　　注意一个特判：若m>=直径长度，直接输出l。

　　总结：重点考察了性质2和相关应用。

　　洛谷P3761 TJOI2017城市

　　题目概述：在树上断开一条边连到别处，使得新树的直径最小，求直径最小值。

　　分析：为了改变新树直径，断开的边必然在原树直径上，找到一条直径，枚举断开哪一条边。（若有多条直径也没法管）

　　根据性质4：新树直径最小值为max（max（子树1直径，子树2直径），子树1半径+子树2半径+断开边长度），在所有新树直径中取最小值即可。

　　总结：考察性质4运用。

　　洛谷P3304 SDOI2013直径

　　题目概述：给定一棵树，求所有直径都共同经过的边的数量。

　　分析：根据性质6：所有直径必然交于中点，我们只要分析中点在边内和在节点上的情况。

　　情况1：中点在边内：ans=1，对于该边的两个节点做一次以下操作：

　　　　　　处理出每个点能够到达的最大深度，记作d[now]，若存在0个或1个以上的子节点满足d[t]+边权==d[now]则该节点向下不存在直径必经边。

　　　　　　若仅存在1个子节点d[t]+边权==d[now]，++ans,再对该子节点做一个相同操作。

　　情况2：中点在点上：处理出每个点能够到达的最大深度，扔进堆里，取前三大的点比较，设为a,b,c。

　　若不存在c或a=b>c，ans=2,a,b,做一次上述操作。

　　若a=b=c，则不存在必经边。

　　该题目略难以理解（至少弱鸡作者这么认为的QWQ），所以将代码放上，但是由于各大OJ该题数据普遍过水，不存在中点在节点上的数据，作者并不能保证代码的正确性，若有大神发现不妥之处欢迎指正

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int,int> p;
priority_queue<p> q;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch;
    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
    if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}
int n,st,res,tot,now,ans;
int f[200010],dep[200010],d[200010];
int head[200010],cnt;
struct point 
{
    int nxt,to,val;
}a[500010];
inline void add(int x,int y,int z)
{
    a[++cnt].nxt=head[x];
    a[cnt].to=y;
    a[cnt].val=z;
    head[x]=cnt;
}
inline void dfs(int now,int fa,int deep)
{
    f[now]=fa;
    dep[now]=deep;
    d[now]=0;
    if(deep>res)
    {
        res=deep;
        st=now;
    }    
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    {
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs(t,now,deep+a[i].val);
        d[now]=max(d[now],d[t]+a[i].val);
    }
}
inline void work(int x,int y)
{
    dfs(x,y,0);
    while("miao")
    {
        int t=0,sum=0;
        for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
        {
            if(a[i].to==y) continue;
            if(d[x]==d[a[i].to]+a[i].val)
            {
                t=a[i].to;
                ++sum;
            }
        }
        if(sum^1) break;
        y=x;
        x=t;
        ++ans;
    }
}
signed main()
{
    n=read();
    for(int x,y,z,i=1;i<n;++i)
    {
        x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dfs(1,0,0);
    res=0;
    dfs(st,0,0);
    printf("%lld\n",res);
    while(2*dep[f[st]]>=res) st=f[st];
    if(2*dep[st]==res)
    {
        dfs(st,0,0);
        for(int i=head[st];i;i=a[i].nxt)
        {
            int t=a[i].to ;
            q.push(p(d[t]+a[i].val,t));
        }
        p a=q.top();
        q.pop();
        p b=q.top();
        q.pop();
        if(!q.empty())
        {
            ans=2;
            work(a.second,st);
            work(b.second,st);
        }
        else
        {
            p c=q.top();
            if(c.first==a.first)
            {
                ans=0;
            }
            else
            {
                ans=2;
                work(a.second,st);
                work(b.second,st);
            }
        }
    }
    else 
    {
        ans=1;
        work(st,f[st]);
        work(f[st],st);
    }
    printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

　　总结：考察性质6以及直径中点相关知识。

来源：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/11189707.html

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