LJJ爱数数（莫比乌斯反演）

题意：

给定\(n\)，求满足\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)，且\(a,b,c\)互质的三元组\((a,b,c)\)数目。\(（a,b,c\leq n）\)
\(n\leq10^{12}\)

首先，使用类似P5253 丢番图的方法，两边乘以\(abc\)。

\(ac+bc=ab\)
\(ab-ac-bc+c^2=c^2\)
\((a-c)(b-c)=c^2\)

若\(x,y,c\)不互质，则存在\(g,(g>1)\)满足\(x=gx'\)且\(y=gy'\)且\(g|c\)。
即\(x'y'g^2=c^2\)，\(g^2 | c^2\)，\(g|c\)。
就是说，只要满足\(g|x\)且\(g|y\)，就能满足\(g|c\)。

所以，只要\(gcd(x,y)=1\)即可。
此外，还要满足\(max(x,y)+c\leq n\)。
不妨设\(y<x\)，那么\(x+c\leq n\)。

因为\(gcd(x,y)=1\)，所以\(c^2\)的每种质因子，要么都给x，要么都给y。
因此，\(x,y\)都是完全平方数。

设\(i^2=x\)，\(j^2=y（j<i）\)，那么\(c=ij\)。
因为\(i^2+ij\leq n\)，所以\(i(i+j)\leq n\)，即\(j\leq \frac{n}{i}-i\)。

设\(R_i=min(i-1,\frac{n}{i}-i)\)，则答案为
\(\sum_{i=1}^n {\sum_{j=1}^{R_i} [gcd(i,j)=1]}\)
直接莫比乌斯反演：
\(\sum_{d=1}^n u(d){\sum_{d|i}^{} {\left \lfloor \frac{R_i}{d} \right \rfloor}}\)

当\(i>\sqrt{n}\)时，显然\(R_i=0\)，忽略即可。

时间复杂度\(O(\sqrt{n}log\sqrt{n})\)。
最后别忘乘2。

代码：

#include <stdio.h>
#define ll long long
ll R[1000010];
int sa[1000010],ss[1000010],u[1000010],sl=0;
void getu(int n)
{
    u[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!sa[i])
        {
            ss[sl++]=i;
            u[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<sl&&i*ss[j]<=n;j++)
        {
            sa[i*ss[j]]=true;
            if(i%ss[j]==0)
            {
                u[i*ss[j]]=0;
                break;
            }
            u[i*ss[j]]=-u[i];
        }
    }
}
int main()
{
    ll n,ans=0;int m=0;
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        R[i]=n/i-i;
        if(i-1<R[i])
            R[i]=i-1;
        if(R[i]<=0)
            break;
        m=i;
    }
    getu(m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(u[i])
        {
            for(int j=i;j<=m;j+=i)
                ans+=u[i]*(R[j]/i);
        }
    }
    printf("%lld",ans*2+1);
    return 0;
}

来源：https://www.cnblogs.com/lnzwz/p/12128600.html

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互质