4.A=LU的矩阵分解（消元法的另一种求解方式）

一.了解A=LU

        其实简单的说A=LU是高斯消元法的另一种求解形式。

从上一节中，我们知道高斯消元法的形式主要是EA=U。其中E我们称其为消元矩阵。通过

进行变换，其中

。通过上边的变换，我们可以得到A=LU。在这里L就是英文单词lower，代表着下三角；U的英文单词就是upper代表着上三角。

举个例子：2X2的例子

                                                                            

                                                                                 E     x    A       =      U

通过变换得到：

                                                                            

                                                                              A        =    L       x       U

我们还可以通过进一步的分解U，来进行LDU分解，把主元提出来：

                                                                           

                                                                             A        =    L        x    D    x     U

其中D是英文单词（diagonal）。表示对角矩阵的意思。通过LDU的分解产生的作用是很多的，接下来的博客会介绍。

二. 为什么要进行LU分解消元法

       1.方便计算

           举个3x3矩阵的例子。

                      对于一个矩阵A，假如需要通过三次消元才能得到U，这三次消元分别是

。所以

。

                           例如：  

    则    

 

                          转换成A=LU的形式：

.

             通过上边我们发现通过普通消元法得到的初等矩阵在第三行有个数10，这是因为把第一行的-2倍加到了第二行，新的第二行的-5倍加到了第三行，所以第三行的10倍第一行加到第三行。这个10的出现大大降低了我们消元矩阵的可读性，特别是对于大型矩阵来说，也加大了他的存储和处理。而我们观察L，他首先是个下三角形的对角矩阵，对角全是1，同时他的其他元素刚好是我们要对各行处理的倍数，这样不仅方便我们读取各行的乘数，同时也减少了存储的空间。

但是LU分解是在一定条件下的：

         1.主元要非零（不能出现行变换）；

         2.矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；

        3.矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；

2.计算步骤要少（时间要短）

   相比于高斯消元法来说，LU分解的步骤要比较少。

对于一个nxn的矩阵，高斯消元法一般要经过大概

次，具体计算可以通过实际例子和微积分来算，如有需要，可在下方评论区留言后，进行推导。

而对于LU分解来说，只需要进行

次比较。

三、引申知识：置换矩阵

在数学上，特别是在矩阵理论中，置换矩阵是一个方形的二进制矩阵，它在每行每列中只有一个1，而在其他地方则为0。

1. 它可以进行行置换，

2. 

  他的逆等于他的转置。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

来源：CSDN

作者：llllllllllllllyyyyyy

链接：https://blog.csdn.net/LLLLLLLLLLLLLLYYYYYY/article/details/103752865