欧拉函数 | 易学教程

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欧拉函数，用φ(n)表示

欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目

可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉

比如φ(12)

把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数

然后把2的倍数和3的倍数都删掉

2的倍数：2,4,6,8,10,12

3的倍数：3,6,9,12

本来想直接用12 - 12/2 - 12/3

但是6和12重复减了

所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来

所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)

这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧

比如φ(30)，30 = 2*3*5

所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5)

但是容斥写起来好麻烦(￣.￣)

有一种简单的方法

φ(12) = 12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3) = 12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6)

φ(30) = 30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5) = 30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30)

你看( •̀∀•́ )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好

所以φ(30)的计算方法就是先找30的质因数

分别是2,3,5

然后用30* 1/2 * 2/3 * 4/5就搞定了

顺便一提，phi(1) = 1

 1 int phi(int x){
 2     int ans = x;
 3     for (int i=2;i*i<=x;i++){
 4         if (x % i == 0){
 5             ans = (ans / i * (i - 1) );
 6             while (x % i == 0)
 7                 x /= i;
 8         }
 9     }
10     if (x>1){ // 防止x是质数
11         ans = (ans / x * (x-1) );
12     }
13     return ans;
14 }

这个的复杂度是O（√n），如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是O（n√n），这也太慢了

有更快的方法

跟埃筛素数差不多

 1 int phi[N];
 2 
 3 void Euler(){
 4     phi[1] = 1;
 5     for (int i=2;i<N;i++){
 6         if (!phi[i]){
 7             for (int j=i;j<N;j+=i){
 8                 if (!phi[j])
 9                     phi[j] = j;
10                 phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
11             }
12         }
13     }
14 }

另一种，比上面更快的方法

需要用到如下性质

p为质数

1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p （我不会证明）

3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) （我不会证明）

 1 const int N = 1e5 + 10;
 2 
 3 int phi[N],prime[N];
 4 int tot;
 5 
 6 void Euler(){
 7     phi[1] = 1;
 8     for (int i=2;i<N;i++){
 9         if (!phi[i]){
10             phi[i] = i-1;
11             prime[tot++] = i;
12         }
13         for (int j=0;j<tot && 1ll*i*prime[j]<N;j++){
14             if (i % prime[j]){
15                 phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
16             }
17             else{
18                 phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
19                 break;
20             }
21         }
22     }
23 }

最后说下

a^b % p 不等价 (a%p)^(b%p) % p

因为

a^φ(p) ≡ 1 (mod p)

所以

a^b % p = (a%p)^(b%φ(p)) % p

（欧拉函数前提是a和p互质）

欧拉求余1