动态规划--最长上升子序列(Longest increasing subsequence)

　　前面写了最长公共子序列的问题。然后再加上自身对动态规划的理解，真到简单的DP问题很快就解决了。其实只要理解了动态规划的本质，那么再有针对性的去做这方的题目，思路很快就会有了。不错不错~加油

　　题目描述：POJ2533

　　给出一个数列，找出这个数列中最长上升子序列中所包含的个数。

　　解题思路：

　　DP问题解题的一般方法就是自下而上，即先求解小的问题，然后再根据小的问题来解决大的问题，最后得到解。但是这里还要满足的条件是最优子结构，即最优解包含着其子问题的最优解。

　　那么我们首先用arr[]数组(从0下标开始)存储要求的数列，用longest_num[i]数组来记录以i为结尾的子序列里面包含的最长上升子序列的数字个数。然后用循环控制，从下标为1开始求longest_num，并且记录找到的最大值，即可得到解。在我的程序里面，我还加了一个功能就是把最长上升子序列打印出来，如果存在有多个的话，那么就只打印最后一个。

　　最后根据下面的DP方程就可以进行求解了:

　　longest_num[i] = max{longest_num[j] + 1,longest_num[i]} 其中j < i && arr[j] < arr[i]

　　程序：

#include <stdio.h>

#define MAX_N 1001
    
int arr[MAX_N];
int longest_num[MAX_N];
int bt[MAX_N];
int max_point = 0;

int LIS(int n)
{
 
    int max = 1;  //最长上升子序列的个数
    int i,j;
    
    for (i = 0; i < n; i++)   //i下标之前(包括i)的最长上升子序列的个数
    {
        longest_num[i] = 1; 
    }

    for (i = 0; i < n; i++)   //用于回溯
    {
        bt[i] = -1; 
    }


    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            if (arr[i] > arr[j] && longest_num[i] < longest_num[j] + 1)
            {
                longest_num[i] = longest_num[j] + 1;
                if (longest_num[i] >= max)
                {
                    max = longest_num[i];
                    max_point = i;
                    bt[i] = j;
                }
            }
        }
    }

    return max; 
}

void backtrack(int point)
{
    if (-1 == bt[point]) 
    {
        printf("%d ",arr[point]);
        return;
    }
    else
    {
        backtrack(bt[point]);
        printf("%d ",arr[point]);
    }
}

int main()
{
    int n,i,ret;
    FILE *fp;

    fp = fopen("in.txt","r");
    if (fp == NULL)
    {
        printf("fopen error!\n");
        return -1;
    }

    fscanf(fp,"%d",&n);
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        fscanf(fp,"%d",&arr[i]);
    }

    ret = LIS(n);
    printf("%d\n",ret);
    
    backtrack(max_point);
    printf("\n");

    return 0;
}2013/8/16 16:21

　　测试数据：

　　7
　　1 7 3 5 9 4 8

　　测试结果：　　

来源：https://www.cnblogs.com/Jason-Damon/p/3262419.html

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