数值分析2019年期末复习提纲
制作：纪元
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考试相关
注意事项
允许携带计算器
卷面分占总成绩的70%
分数划分
单选10*2
填空10*2
判断10*1
客观5*10
考试时间
12月29日
第一章
解析解、精确解：
解析解：可能等于精确解
数值解、近似解：
追求满足精确度要求的近似解
误差来源
误差不避免
模型误差、观测误差
数值分析不考虑
截断误差（方法误差）
算法迭代终止产生的误差
舍入误差
计算机存储数值位数有限导致的误差
绝对误差、相对误差：
实际情况下一般不要求计算具体值，因为精确值未知，一般要求绝对\相对误差限（知道误差的大致范围）
有效数字（重点）
考法：给数值，要求判该数值有几位有效数字（PPT9）推荐四舍五入法判断。
误差估计
对含有误差的数值进行加减乘除导致的误差限变化（PPT12）
含有误差的数值代函数导致的误差限变化（PPT13）
参考例题：PPT14
稳定性、收敛性
理解含义
病态问题
由于问题本身不稳定，输入量的少量改变会导致结果的大幅度抖动。
计算条件数
参考例题：PPT21
计算方法优化
避免相近数字相减导致有效数字下降
避免分子数量级过度大于分母，导致溢出
避免“大数吃小数”（调整顺序使计算顺序由小到大）
尽量使用计算步骤较少的算法（eg：秦九韶算法）
考法：以下几种方法，从避免误差的角度来看，最合理的是哪种？
第二章
为什么差值
减少过多取样带来的成本\预测
如何插值
- 多项插值（计算机友好）给样本点，求值
- 三角插值（计算机不友好）
- 有理插值（计算机不友好）
基函数、系数
了解分别是什么
拉格朗日基函数
基函数复杂，系数简单（PPT12）
推荐先写分母，跳过Xk项，再写分子（Xk改为X）
牛顿插值
优点：有继承性，改变插值点不需要重算。
基函数：W0，W1…（PPT3）
系数：差商（考试时列表格计算即可）
优化：在插值点等距时可以计算差分代替差商，好处在不用计算除法
误差估计（余项）：Rn（X）=f（X）－Ln（X）其中柯西值不确定导致误差为一个范围。（PPT18）
拉格朗日插值
性质：
- N次对n<=N次绝对精确（PPT23）
因为误差为n+1阶倒数，n阶以下求导直接为0 - 基函数相加，值为1
龙格现象
并不是插值次数越高越好
赫尔敏特插值
本次考试不做要求
分段线性插值
特点：简单，有效，但性态不好（插值点不连续，无导数）
优化：三次赫尔敏特插值
最优化：三次样条插值（重点）
三次样条插值
注意事项：使用条件（PPT3）、边界条件
考法：非大题
第四章
数值积分
求系数、评价、代数精度（PPT7）
参考例题：（PPT9）（PPT10）（P108-eg3）
牛顿－科特斯
等距时系数固定（P104表格），第八行时，由于出现负数，造成算法不稳定
要求：记忆一二三行
龙贝格
梯形序列，递推复用：
T2n=1/2Tn+h/2西格玛（f（x+1/2））
自适应积分
不区间使用不同步长（系数和始终为1）
高斯求积（重要）
n=1，节点=2（PPT9）
代数精度：（PPT7）
参考例题：P123－eg10（n=1，区间不变）
第五章
线性方程组直接解法
条件：主元全不为0
数值优化：全主元，列主元
LU分解（另一角度高斯消去）
考法：给一个矩阵，要求进行LU分解（重要）
平方根法
掌握使用的前提条件（对称正定）
追赶法
考法：给三对角矩阵，要求使用追赶法分解
参考例题：P177－eg9，PPT16
第六章
范数
考法：1范数，无穷范数
条件数
用来判断系数矩阵是否病态
迭代法
迭代条件
系数矩阵能否收敛
雅各比
高斯塞德尔
超松弛：0 <松弛因子< 2
第七章
二分法
考法：求解迭代多少次能达到要求的精度（PPT10）
不动点迭代
收敛性判断（PPT17）
考法：给不同迭代，判断哪些收敛
阿特金加速
了解原理
牛顿法
f(X)、fai(X)要分清（PPT4）
来源：CSDN
作者：千面客
链接：https://blog.csdn.net/qq_43724306/article/details/103616642