我们知道，一个匝数为n，通过电流为i的线圈可能出现自感（self-inductance）

当通过线圈的电流不变时，穿过线圈的磁场也不会变，当电流随时间变化时，会有一个感应电动势出现来抵抗电流的变化，这种现象就叫做自感，对应的感应电动势则叫做自感电动势（self-induced emf），表达式为

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对应的自感为

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一个线圈可以产生自感，多个线圈之间则可能出现互感，这也是磁耦合电路的基础原理

1. 互感

互感是一个电感在另一个相邻的电感内诱发电压的能力，单位为H，这始终是个正值

想象两个靠在一起的线圈，线圈1中的磁感线同样会穿过线圈2，如图所示
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我们称这两个线圈共享的磁通量为 $\phi_{12}$ ，如果随时间改变线圈1的电流 $I_1$ ， $\phi_{12}$ 就会变化，线圈2则会产生一个感应电动势：
$$$$

这个感应电动势会随着线圈1中电流的变化而变化，关系为
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同样的，在线圈1中也会产生一个感应电动势：

这个电动势也会随着线圈2中电流的变化而变化

他们的互感系数 $M_{12}=M_{21}\equiv M$

互感只出现在线圈或电感相邻，且被时变电源驱动的电路内，用来标识互感的符号为M，如下图所示
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1.2 互感的影响因素

互感的会被线圈数，线圈直径，磁芯材料等影响

1.3 自感和互感电压的组合

处于同一个回路中的两个线圈会同时发生自感和互感，先看只有一个线圈中有变化电流的情况
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可以看到只有左边的线圈有电流，因此在左边的线圈中产生了自感电动势 $v_1$ ，在右边的线圈中产生了互感电动势 $v_2$

再来看两边的线圈都通电流的情况

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由于右边多出的电流，右边线圈产生了自感电动势，而左边的线圈则多出了一个互感电动势

这里我们看到的是两个线圈产生的电压方向相同时的电动势，如果改变其中一边的电流方向，形成反向的电压，情况又会不一样了

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可以看到，电流反向后，总电动势从原来的自感和互感相加变成了相减

2. 同名端

通常在电路图中，我们不会详细画图来表现线圈缠绕的方向，而是通过标注同名端的方式来表现这一特性

如果两个线圈的同名端在同一边，那么他们就会在对方的线圈内产生正的感应电动势，反之则产生负的感应电动势，如图：
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可以看到，左上角和右下角的图中，同名端所处的边相同，因此产生正的感应电动势
另外两张图同名端不在一处，因此产生负的感应电动势

2.1 标识同名端

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我们可以通过判断感应电动势的方向来标识同名端，如上图，根据右手螺旋定则，我们可以注意到当电流从标识点处流入时，产生的感应电动势方向相同，因此他们的同名端在同一处。

可以总结为，电流从哪组端口流入能与对方产生相同方向的感应电动势，则标记这一组端口

2.2 时域与频域

2.2.3 时域电路及感应电动势

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2.2.4 频域电路及感应电动势

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可以看到频域中原本时间的参数变成了频率

2.3 串联耦合线圈

对于两个串联的线圈，我们仍然有办法标注他们的同名端，示意如下
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图中两个线圈的同名端都位于线圈左侧，因此他们产生的互感电动势会与自感电动势相加

如果线圈的同名端不在同一侧，则互感电动势会与自感相减
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这里的互感系数可以通过将两种电感相减来计算

2.4 并联耦合线圈

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3. 频域上的分析

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如图是一个时域上的互感电路，电感的自感分别为4H和5H，互感为2.5H
根据电压的表达式，我们可以得到这个电压的振幅为60，相位为 $30\degree$ ，频率 $\omega=4rad/s$

根据电感的阻抗公式 $j\omega L$ ，我们可以得到电感的自感电阻和互感电阻
根据电容的阻抗公式 $1/j\omega C$ ，我们可以得到电容的等效电阻

转化过程如下：
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最后得到频域电路为

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互感电阻在做KVL时视为两个分别串联在两侧电路内的电阻

4. 耦合电路中的能量

假设两个相邻的线圈 $L_1,L_2$ ，如图所示
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在两边电流都为0的时候，没有任何能量被储存

现在，我们将 $i_1$ 从0增加到 $I_1$ ，右边电流仍然保持为0，此时线圈1的功率为
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将其对时间积分，得到线圈中储存的能量

注意这里由于线圈2中还没有电流，所以即使产生了互感电动势，也没有存储任何能量

接着，保持 $i_1=I_1$ ，将右边的电流从0增大到 $I_2$ ，这会在线圈1侧产生一个互感电动势，由于 $i_1$ 不变，线圈2侧不会有互感电动势，因此，两个线圈此时的功率为：

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即左边的电流乘上互感电动势，加上右边的电流乘上自感电动势

对时间积分，得到储存的能量
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这样一来，总的存储的能量就等于增加 $i_1$ 时存储的 $W_1$ 和增加 $i_2$ 时存储的 $W_2$ ，表达为

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通过计算，我们可以发现，即使逆反 $i_1$ 和 $i_2$ 增加的顺序，最终存储的总能量也是相同的

这是在两个电流产生同向电动势时的结果，如果改变其中一方输入电流的方向，最终存储的能量为

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因此，计算耦合电路能量的一个更加广义的表达式为：

4.1 计算互感的上限

我们知道，一个无源电路的能量不能是负的，因此可以得到不等式
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经过计算，可以知道M的上限

4.2 耦合系数

磁耦合电路的耦合系数k可以通过实际的互感与理论上的互感最大值之比来计算
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如果一个线圈产生的通量完全穿过另一个线圈，此时 $k=1$ ，我们称其为全耦合（perfectly coupled）
如果 $k<0.5$ ，称其为松散耦合（loosely coupled）
如果 $k>0.5$ ，称其为紧密耦合（tightly coupled）