第7章 AOE网与关键路径

【AOE网】

【概念】

与AOV网相对应的是边表示活动的有向无环图 AOE(Activity On Edge) ，如下图所示。

图中顶点表示事件(Event)，每个事件表示在其前的所有活动已经完成，其后的活动可以开始；弧表示活动，弧上的权值表示相应活动所需的时间或费用。

与AOE有关的研究问题：

1. 完成整个工程至少需要多少时间？
2. 哪些活动是影响工程进度(费用)的关键？

【定义】

设$v_0$是起点，从$v_0$到$v_i$的最长路径长度称为事件$v_i$的最早发生时间，即是以$v_i$为尾的所有活动的最早发生时间。

若活动$a_i$是弧$<j, k>$，持续时间是$dut(<j, k>)$，设：

◆ $e(i)$：表示活动$a_i$的最早开始时间。

◆ $l(i)$：在不影响进度的前提下，表示活动$a_i$的最晚开始时间。则$l(i)-e(i)$表示活动$a_i$的时间余量，若$l(i)-e(i)=0$，表示活动$a_i$是关键活动。

◆ $ve(i)$：表示事件$v_i$的最早发生时间，即从起点到顶点$v_i$的最长路径长度；

◆ $vl(i)$：表示事件$v_i$的最晚发生时间。

对上面的四个定义，有以下三个关系式：

• 含义是：源点事件的最早发生时间设为$0$；除源点外，只有进入顶点$v_j$的所有弧所代表的活动全部结束后，事件$v_j$才能发生。即只有$v_j$的所有前驱事件$v_i$的最早发生时间$ve(i)$计算出来后，才能计算$ve(j)$ 。

• 方法是：对所有事件进行拓扑排序，然后依次按拓扑顺序计算每个事件的最早发生时间。

• 含义是：只有$v_j$的所有后继事件$v_k$的最晚发生时间$vl(k)$计算出来后，才能计算$vl(j)$。
• 方法是：按拓扑排序的逆顺序，依次计算每个事件的最晚发生时间。

数学是美学，算法是艺术。对我这种菜鸡来说，恐怕唯一能做的就是慢慢接受并尝试运用数学形式吧！

【求AOE中关键路径和关键活动】

【算法思想】

① 利用拓扑排序求出AOE网的一个拓扑序列；

② 从拓扑排序的序列的第一个顶点(源点)开始，按拓扑顺序依次计算每个事件的最早发生时间$ve(i)$ ；

③ 从拓扑排序的序列的最后一个顶点(汇点)开始，按逆拓扑顺序依次计算每个事件的最晚发生时间$vl(i)$ ；

【手工分析】

对于上图的AOE网，处理过程如下：

1. 拓扑排序的序列是：(v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8)
2. 根据上面计算$ve(i)$的公式7-2和计算$vl(i)$的公式7-3 ，计算各个事件的$ve(i)$和$vl(i)$值，如下表所示。
   
3. 根据上面公式7-1，计算各个活动的$e(i)$和$l(i)$，如下表所示。
   
4. 根据关键路径的定义，知该AOE网的关键路径是： (v0, v2, v4, v7 , v8) 和 (v0, v2, v5 , v7 , v8) 。
5. 关键路径活动是：<v0, v2>，<v2, v4>，<v2, v5>，<v4, v7>，<v5, v7>，<v7, v8> 。

明白了手工分析，占个坑，代码就先不实现了，后面的几篇代码可能也没时间实现了，准备期末考试。
考完或者下学期有时间补上

来源：CSDN

作者：菜是原罪QAQ

链接：https://blog.csdn.net/qq_42815188/article/details/103623092