高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
View Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#define CL(a,num) memset((a),(num),sizeof(a))
#define iabs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
#define Min(a,b) (a) > (b)? (b):(a)
#define Max(a,b) (a) > (b)? (a):(b)
#define ll long long
#define inf 0x7f7f7f7f
#define MOD 100000007
#define lc l,m,rt<<1
#define rc m + 1,r,rt<<1|1
#define pi acos(-1.0)
#define test puts("<------------------->")
#define maxn 100007
#define M 100007
#define N 507
using namespace std;
//freopen("din.txt","r",stdin);
int a[N][N],X[N];//分别记录增广矩阵和解集
int free_x[N];//记录自由变量
int equ,var;//分别表示方程组的个数和变量的个数
int GCD(int x,int y){
if (y == 0) return x;
return GCD(y,x%y);
}
int LCM(int x,int y){
return x/GCD(x,y)*y;
}
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Guass(){
int i,j,k,col;
CL(X,0); CL(free_x,1);//把解集清空，所有变量都标为自由变量
for (k = 0,col = 0; k < equ && col < var; ++k, ++col){//枚举行列
int max_r = k;//找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
for (i = k + 1; i < equ; ++i){
if (iabs(a[i][col]) > iabs(a[max_r][col])) max_r = i;
}
if (max_r != k){//交换
for (i = k; i < var + 1; ++i) swap(a[k][i],a[max_r][i]);
}
if (a[k][col] == 0){//如果对应该列都为0，枚举该行的下一列
k--; continue;
}
for (i = k + 1; i < equ; ++i){//将k后边的col进行初等变换成行阶梯矩阵
if (a[i][col] != 0){
int lcm = LCM(a[k][col],a[i][col]);
int ta = lcm/iabs(a[i][col]); int tb = lcm/iabs(a[k][col]);
if (a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for (j = col; j < var + 1; ++j){
a[i][j] = ta*a[i][j] - tb*a[k][j];
}
}
}
}
Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 即R(A) != R(A')无解
for (i = k; i < equ; ++i){
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数. 即R(A) = R(A') < n
if (k < var){
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
int num = 0,freeidx;
for (i = k - 1; i >= 0; --i){
num = 0;// 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
int tmp = a[i][var];
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
for (j = 0; j < var; ++j){
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]){
num++;
freeidx = j;
}
}
if (num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
tmp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; ++j){
if (a[i][j] && j != freeidx) tmp -= a[i][j]*X[j];
}
X[freeidx] = tmp/a[i][freeidx];
free_x[freeidx] = 0;
}
return var - k;
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = k - 1; i >= 0; --i){
int tmp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; ++j){
tmp -= a[i][j]*X[j];
}
X[i] = tmp/a[i][i];
}
return 0;
}
int main(){
//freopen("din.txt","r",stdin);
int i,j;
while (~scanf("%d%d",&equ,&var)){
for (i = 0; i < equ; ++i)
for (j = 0; j < var + 1; ++j) scanf("%d",&a[i][j]);
Debug();
int free_num = Guass();
if (free_num == -1) printf("无解！\n");
else if (free_num == -2) printf("无整数解\n");
else if (free_num > 0){
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; ++i){
if (free_x[i]) printf("X%d 是不确定的\n",i + 1);
else printf("X%d %d",i + 1,X[i]);
}
}
else{
for (i = 0 ; i < var; ++i){
printf("X%d %d\n",i + 1,X[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
/*
4 3
1 1 2 1
2 -1 2 4
1 -2 0 3
4 1 4 2
4 4
1 -2 3 -4 4
0 1 -1 1 -3
1 3 0 -3 1
0 -7 3 1 -3
4 5
1 -2 3 -1 -1 2
1 1 -1 1 -2 1
2 -1 1 0 -2 2
2 2 -5 2 -1 5
2 2 -5 2 -1 5
*/
来源：https://www.cnblogs.com/E-star/archive/2012/09/05/2671382.html