AC自动机入门

别等时光非礼了梦想. 提交于 2019-12-17 19:12:12

AC自动机入门

我学的时候看的是yyb的博客
链接一个神奇的东西

讲之前的bb

PS:不要想着马上能理解AC自动机,那是不可能的
建议先大致理解一下,然后敲几次板子,这样虽然自己心里不爽,但是在敲板子的过程中就会慢慢理解了

一.算法基础

1.KMP字符串匹配
2.trie树

要求入门并能有一定技巧地运用

二.由来

(匹配泛指各种字符串之间相互包含,交集等问题)
我们学习了KMP,是用来2个字符串匹配的算法:O(m+n)
现在给出很多个字符串,去把他们和另外一个字符串匹配,如果逐个匹配,显然会很慢,所以引入一种新算法:AC自动机


这个是分割线吧?

正式开始:

主要思想

  • Q:多个字符串?
    A:我们学了trie树是吧,预备一下,把要被匹配的字符串全丢进去
  • Q:字符串匹配?
    A:我们学了KMP对吧,想一下KMP的原理,突然发现next[]是不是很吊,预处理出来。
    肯定有用,但是肯定预处理方法不同(见后)
  • Q:这个我也想得到啊!
    A:所以肯定是一个KMP结合trie树的算法,它就叫AC自动机

实现

注意:以luogu AC自动机模板为例
首先一个图,自己画下来再根据代码模拟手玩更容易理解
来自yyb:

Insert

. 先把所有的匹配字符串丢进trie树,这个不用多说
ljl[].son[]表示now的每一个儿子(26个字母) 板子
ljl[].end记录trie树上在这里结束的是哪个串
PS:代码里trie数组变成了我自己的名字//滑稽,ljl.son[]==trie[][];

il void Insert()
{
    rg int len=s.length();
    rg int now=0;
    for(rg int i=0;i<len;++i)
    {
        rg int kk=s[i]-'a';
        if(!ljl[now].son[kk])
            ljl[now].son[kk]=++cnt;
        now=ljl[now].son[kk];
    }
    ljl[now].end++;
}

get_fail

.对于匹配,我们考虑找到KMP算法中的next[]数组,但是我们这里把它叫做ljl[].fail,并且也有很多不一样的地方
声明一下:fail指的是当前找到的串(在trie树上找)的最长后缀在哪个地方
PS:根据那个图来找,自己试试
总结一下几个地方(现在大可不必理解,背下来先)

  • trie树上第二层所有的fail都是根节点(0),因为最长后缀肯定没有地方可以找到,只能是‘空’
  • 我的儿子的fail 是 我的fail的对应儿子(在图上看一下对不对)
  • 如果没有想要的儿子,就把我的这个儿子指向我的fail的对应儿子(看后面的板子来理解这句话吧//苦笑)
  • 运用类似bfs的方法来找fail
il void get_fail()
{
    queue<int> Q;
    while(!Q.empty())Q.pop();
    for(rg int i=0;i<26;++i)
    {
        if(ljl[0].son[i])
        {
            ljl[ljl[0].son[i]].fail=0;//1
            Q.push(ljl[0].son[i]);
        }
    }
    while(!Q.empty())
    {
        rg int now=Q.front();Q.pop();
        for(rg int i=0;i<26;++i)
        {
            if(ljl[now].son[i])
            {
                ljl[ljl[now].son[i]].fail=ljl[ljl[now].fail].son[i];//2
                Q.push(ljl[now].son[i]);
            }
            else ljl[now].son[i]=ljl[ljl[now].fail].son[i]; //3         
        }
    }
}

肯定还是无法理解对不对,接下来还有无法理解的东西,我的建议是先记下来板子,敲板子的时候会有惊喜的!!!(我就是这样理解的)

Query

一句话:Query匹配暴力跳fail:
每匹配一个新的字母,我们暴力跳一遍它所有的fail(先别质疑复杂度),自己模拟一下,知道正确性就ok了……

il int Query(string s)
{
    rg int L=s.length();
    int now=0,ans=0;
    for(rg int i=0;i<L;++i)
    {
        rg int kk=s[i]-'a';
        now=ljl[now].son[kk];//新匹配一个字母
        for(rg int tt=now;tt&&ljl[tt].end!=-1;tt=ljl[tt].fail)
        //暴力跳fail
        {
            ans+=ljl[tt].end;
            ljl[tt].end=-1;//标记走过!
        }
    }
    return ans;
}

如果要全部代码:戳这里

Query更优版

如果你已经比较理解了或者你有强大的自信心,就往后看,否则,先过了那个板子再说吧……
真的,后面的东西要先理解如何跳fail,我还真不好解释,所以只能自己去理解
好吧,入正题:
这里以洛谷AC自动机模板2为例题......
你会发现暴力跳fail会被卡成O(n^2),所以考虑优化(会快很多!)
嗯,以下几点:

  • 对于所有的i,从fail[i]向i连边,会构成一棵树
  • 既然我们每次要暴跳一遍,为何不做一次跳?
  • 那么我们考虑把串T在trie树上标记一下那些单词可以找到,然后我们把fail数组在一个新图中连成一棵树,再dfs一遍记录答案,这样我们就把复杂度中的O(m*n)进化成了O(m+n)
  • 代码实现就很简单了

PS:我的代码从ljl[]又变回了trie[][] 习惯一下吧
嗯,代码是模板2的:AC自动机模板2题解

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