高斯消元

有方程组
\[\begin{cases}k_{1,1}a_1+k_{1,2}a_2+……+k_{1,n}a_n=b_1\\k_{2,1}a_1+k_{2,2}a_2+……+k_{2,n}a_n=b_2\\……\\k_{n,1}a_1+k_{n,2}a_2+……+k_{n,n}a_n=b_n\end{cases}\]
其中\(k_i,b_i\)已知，求\(a_i\)

根据初中芝士，我们可以选择加减/代入消元，但是对于算法来说，我们要有一般性的方法

一般来说，我们选择把主对角线全部消成\(1\)，主对角线下的数全部消成\(0\)

\[\begin{cases}1　k^{'}_{1,2}　k^{'}_{1,3}=b^{'}_{1}\\0　1　k^{'}_{2,3}=b^{'}_{2}\\0　0　1=b^{'}_{3}\end{cases}\]

类似这样的，如果消不成上三角，那么说明原方程组无解

我们每次选择一个绝对值最大的系数，先将该系数消成\(1\)

用该项将其他式子的对应项直接消为\(0\)，其他项对应减去\(\frac{a_{jnow}}{a_{inow}}*a_{iw}\)

至于为什么选最大的，首先如果最大的为\(0\)或小于\(eps\)，那么方程组无解，其次选择最大的可以降低精度误差

对于\(n\)元方程组，显然需要消元\(n\)次，每次消元需要\(n^2\)复杂度，所以总复杂度\(O(n^3)\)

好像原理很简单，不过实现需要稍微脑补一下

\(upd:\)个人觉得没讲明白，但是我太菜了好像想不到更细致的解释了……先康康代码吧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
    inline int read()
    {
        int x=0;char ch,f=1;
        for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
        if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
        return f?x:-x;
    }
    int n;
    double a[110][110],ret[110];
    inline void main()
    {
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n+1;++j)
            {
                scanf("%lf",&a[i][j]);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int t=i;
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
                if(fabs(a[j][i])>fabs(a[t][i])) t=j;
            if(fabs(a[t][i])<eps)
            {
                puts("No Solution");
                return;
            }
            if(t!=i) swap(a[i],a[t]);
            double div=a[i][i];
            for(int j=i;j<=n+1;++j) a[i][j]/=div;
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
            {
                div=a[j][i];
                for(int k=i;k<=n+1;++k)
                    a[j][k]-=(a[i][k]*div);
            }
        }
        ret[n]=a[n][n+1];
        for(int i=n-1;i;--i)
        {
            ret[i]=a[i][n+1];
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
                ret[i]-=(a[i][j]*ret[j]);
        }
        for(int i=1;i<=n;++i) printf("%.2lf\n",ret[i]);
    }
}
signed main()
{
    red::main();
return 0;
}

高斯消元解图上期望\(DP\)

bzoj1444: [Jsoi2009]有趣的游戏
洛谷P3232[HNOI2013]游走

来源：https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/12025082.html