一、 问题描述
给定 n 个作业的集合 j = {j1, j2, …, jn}。每一个作业 j[i] 都有两项任务分别在两台机器上完成。每一个作业必须先由机器1 处理，然后由机器2处理。作业 j[i] 需要机器 j 的处理时间为 t[j][i] ，其中i = 1, 2, …, n, j = 1, 2。对于一个确定的作业 调度，设F[j][i]是作业 i 在机器 j 上的完成处理的时间。所有作 业在机器2上完成处理的时间之和 f = sigma F[2][i] 称为该作业 调度的完成时间之和。
批处理作业调度问题要求对于给定的 n 个作业，制定最佳作业调度 方案，使其完成时间和达到最小。
二、 解题思路及所选算法策略的可行性分析
用优先队列式分支限界法解决此问题。由于要从n个作业的所有排列中找出有最小完成时间和的作业调度，所以批处理作业调度问题的解空间树是一颗排列树。对于批处理作业调度问题，可以证明存在最佳作业调度使得在机器1和机器2上作业以相同次序完成(因为每个作业必须先在机器1上完成作业才能在机器2上进行作业)。
如果对于未安排的作业，对于其中一个作业，每当该作业在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，则机器1没有空闲时间，达到满工作状态，将此情况的未安排作业在机器2上的工作时间总和记为S1，同理将机器2满工作状态的情况下的工作时间总和记为S2，则必有：
所有作业机器2上完工时间和 >= 已安排作业机器2上完工时间和 + max{S1,S2}
其中当未安排作业按照在机器1、2上工作时间非递减顺序进行调度时，S1和S2同时取得极小值且和调度无关，由此可作为分支限界法中的限界函数。
伪代码描述及复杂度分析
bbFlow(){
对各作业在机器1和2上作旭时间排序
do{
if(到达叶结点){
if(当前作业安排机器2上完成时间和 < bestc){
更新bestc；
更新最优解；
}
}else{
For(int i=enode.已安排作业数; i<总作业数; i++){
求得当前下届bb；
If(bb < bestc){
结点插入最小堆；
}
}
}
取下一个拓展结点；
}while（enode!=null&&enode.s<=n）
}
三、 代码实现
package 分支限界法;
public class Nodes implements Comparable {
int s;//已安排作业数
int sf2;//当前机器2上的完成时间和
int bb;//当前完成时间和下界
int[] f;//f[1]机器1上最后完成时间，f[2]机器2上最后完成时间
int[] x;//当前作业调度
public Nodes(int n){
//最小堆结点初始化
x=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
x[i]=i;
s=0;
f=new int[3];
f[1]=0;
f[2]=0;
sf2=0;
bb=0;
}
public Nodes(Nodes e,int[] ef,int ebb,int n){
//最小堆新结点
x=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
x[i]=e.x[i];
f=ef;
sf2=e.sf2+f[2];
bb=ebb;
s=e.s+1;
}
@Override
public int compareTo(Object o) {
int xbb=((Nodes) o).bb;
if(bb<xbb) return -1;
if(bb==xbb) return 0;
return 1;
}
}
public class BBFlow {
public int n;//作业数
public int bestc;//最小完成时间和
public int [][]m;//n个作业所需的处理时间数组
public int [][]b;//n个作业所需的处理时间排序数组
public int[][] a;//数组m和b的对应关系数组
public int[] bestx;//最优解
public boolean[][] y;//工作数组
public BBFlow(int n,int[][] m){
this.n=n;
bestc=10000;
this.m=m;
b=new int[n][2];
a=new int[n][2];
bestx=new int[n];
y=new boolean[n][2];
}
public void swap(int[][] b,int i,int j,int k,int t){
int temp=b[i][j];
b[i][j]=b[k][t];
b[k][t]=temp;
}
public void swap(int[] x,int i,int j){
int temp=x[i];
x[i]=x[j];
x[j]=temp;
}
/**
* 对n个作业在机器1和2上所需时间排序
*/
public void sort(){
int[] c=new int[n];
for(int j=0;j<2;j++){
for(int i=0;i<n;i++){
b[i][j]=m[i][j];
c[i]=i;
}
for(int i=0;i<n-1;i++){
for(int k=n-1;k>i;k--){
if(b[k][j]<b[k-1][j]){
swap(b,k,j,k-1,j);
swap(c,k,k-1);
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
a[c[i]][j]=i;
}
}
/**
* 计算完成时间和下界
* @param enode
* @param f
* @return
*/
public int bound(Nodes enode,int[] f){
for(int k=0;k<n;k++){
for(int j=0;j<2;j++){
y[k][j]=false;
}
}
for(int k=0;k<enode.s;k++){
for(int j=0;j<2;j++){
y[a[enode.x[k]][j]][j]=true;
}
}
f[1]=enode.f[1]+m[enode.x[enode.s]][0];
f[2]=((f[1]>enode.f[2])?f[1]:enode.f[2])+m[enode.x[enode.s]][1];
int sf2=enode.sf2+f[2];
int s1=0;
int s2=0;
int k1=n-enode.s;
int k2=n-enode.s;
int f3=f[2];
//计算s1的值
for(int j=0;j<n;j++){
if(!y[j][0]){
k1--;
if(k1==n-enode.s-1)
f3=(f[2]>f[1]+b[j][0])?f[2]:f[1]+b[j][0];
s1+=f[1]+k1*b[j][0];
}
}
//计算s2的值
for(int j=0;j<n;j++){
if(!y[j][1]){
k2--;
s1+=b[j][1];
s2+=f3+k2*b[j][1];
}
}
//返回完成时间和下界
return sf2+((s1>s2)?s1:s2);
}
/**
* 优先队列式分支限界法解批处理作业调度问题
* @param nn
* @return
*/
public int bbFlow(int nn){
n=nn;
sort();//对n个作业在机器1和2上所需时间排序
LinkedList<Nodes> heap=new LinkedList<Nodes>();
Nodes enode =new Nodes(n);
//搜索排列空间树
do{
if(enode.s==n){
//叶节点
if(enode.sf2<bestc){
bestc=enode.sf2;
for(int i=0;i<n;i++){
bestx[i]=enode.x[i];
}
}
}else{
//产生当前扩展结点的儿子结点
for(int i=enode.s;i<n;i++){
swap(enode.x,enode.s,i);
int[] f=new int[3];
int bb=bound(enode,f);
if(bb<bestc){
//子树可能含有最优解
//结点插入最小堆
Nodes node=new Nodes(enode,f,bb,n);
heap.add(node);
Collections.sort(heap);
}
swap(enode.x,enode.s,i);
}//完成结点扩展
}
//取下一个扩展结点
enode=heap.poll();
}while(enode!=null&&enode.s<=n);
return bestc;
}
public static void main(String[] args) {
int n=3;
int[][] m={{2,1},{3,1},{2,3}};//m的下标从0开始
BBFlow f=new BBFlow(n,m);
f.bbFlow(n);
System.out.println("最优批处理作业调度顺序为：");
for(int i=0;i<n;i++)
System.out.print((f.bestx[i]+1)+" ");
System.out.println();
System.out.println("最优调度所需的最短时间为："+f.bestc);
}
}
/*************************
*运行结果
*最优批处理作业调度顺序为：
*1 3 2
*最优调度所需的最短时间为：18
*************************/
来源：https://www.cnblogs.com/LieYanAnYing/p/12038398.html