高等数学笔记第四天

三世轮回 提交于 2019-12-08 17:14:05

0/0, ∞/ ∞  未定式的处理

   洛必达法则:(适用于 0/0型 未定式)

        内容: 若 lim f(x)/F(x)  = 0/0, 则有   f(x) / F(x) = lim f'(x) / F'(x) ,注意,它对于: x-> A 或者  x-> ∞都适用。

        前提: lim f'(x) /F'(x) = A 或者 ∞;  

               若lim f(x)/ F(x)  = ∞/ ∞, 也可以适用洛必达法则;

   趋于∞的速度,对数函数 < 幂函数  < 指数函数.

   对于较为复杂的式子,应当及时分离 非零 极限的乘积 因子,可减少计算量。  此外,可使用等价无穷小的替换。(前提是必须为等价无穷小才行)。

    常见的三个等价无穷小:

           1.指数: 

           2.对数: ln(1 + x) ~ x;

           3.幂数: 

其它未定式的处理

    1. ∞*0 型未定式: 

          lim f(x)*g(x) ----简单因子放入分母--->  ,  即 转化为: 0/0 ,或者  ∞/∞;

     2.∞-∞型未定式:

           lim [ f(x) - g(x)]  --->通分 或者 分母 有理化 ;     即 将 整式 转换为 分式;

           eg: lim sec x - tan x , x-> π/2;      

    3.幂指函数:

           方法见之前的笔记。

          eg: lim x^x,x -> 0+;        ;    

泰勒公式:

       内容: 设  f(x) 再 x0 处有 n 项导数,则 存在 x0 的一个领域,对于该领域 内任一点x 有:

                      f (x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n! * (x-x0)^n + Rn(x);

                      其中,Rn(x) 为 余项,  Rn(x) = O( (x-x0)^n), 读作: Peano余项。

泰勒中值定理:

       内容:  若f(x) 在 x0 的领域内存在 直到 n+1 阶 的导数,则x0 的某个领域内有: 

                      f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n!(x-x0)^n + Rn(x).

                      其中,Rn(x) = f^(n+1) (ξ) / (n+1)! * (x-x0)^ (n+1), ξ在 x 与 x0 之间  ;Rn(x) 称为 拉格朗日余项

                           即 ξ = θx + (1-θ)x0, θ∈(0,1);     

麦克劳林公式:

         内容: 泰勒公式在x = 0 时的情况:

                           即  f(x)  = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2! * x^2 + ...... + f^n(0) /n! * x^n + Rn(x)

                             带拉格朗日余项的麦克劳林公式:  Rn(x) = f^(n+1) (θ*x)/(n+!)! * x^(n+1), θ∈(0,1);

         常见的麦克劳林公式:

             1.余弦:  

             2.正弦: 

             3.指数:  

             4.对数: 

             5.幂数: 


补充:tanx的前几项泰勒展开式:

驻点,可能为不可导点,也可能为极值点。

极值的第一充分条件:

       1.点x0处连续;  

       2.点 x0 的去心 领域可导;

       3.f'(x0-) 与 f'(x0+) 导向

极值的第二充分条件:

        1.f'(x0) =0,且f''(x0)=/= 0;

        2.若 f''(x0) <0,f(x0) 为极大值

        3.若 f''(x0) >0,f(x0) 为极小值

曲线的凹凸性:

        1.,即 弦终点 > 弧中点,为上凹, 此时 f''(x) >0;  即一阶导递增,斜率值逐渐变大;

        2.,即 弦终点 < 弧中点,为上凸, 此时 f''(x) <0;  即一阶导递减,斜率值逐渐变小;

曲线凹凸性的判定定理:

         若f(x) 在 [a,b] 连续,在(a,b) 上二阶可导,则 f''(x) <0 时,为凸; 若 f''(x) >0,为凹。

     拐点: f''(x0) =0,拐点指: (x0,f(x0) )

     可能出现拐点的是: f''(x) =0的点 或者  f''(x0) 不存在的点。

求驻点 或 拐点 的步骤:

     1.确定定义域;

     2.寻找驻点;(一阶导的时候,已经包括寻找不可导点。)

     3.寻找不可导点;(二阶导确定不可导点,必须根据一阶导确定。)

斜渐进线:(称之为线,但是它只在某一点有意义。)

       y=kx+b,  其中,,   

不定积分:

   1.定义:   连续函数一定有原函数,且原函数可导,且不唯一。

             运算式: 

                其中, 称为积分号, f(x) 称为 被积函数;  dx 称为: 积分变量;  F(x) 称为 原函数,  C为 常数

    2.常见函数不定积分表:

           1. 原一次幂函数: ∫k dx = kx +C 

           2.  原普通幂函数: ∫ x^u dx = x^(u+1) / (u+1) + C

           3.  原对数函数: ∫ 1/x dx  = ln|x| +C

           4.  原三角函数相关:

                            原正弦:  ∫ cosx dx = sinx +C

                            原余弦:  ∫ sinx dx = - cosx +C  

                            原正切:   ∫ 1/cos^2(x)  dx= ∫sec^2(x) dx = tanx + C 

                            原正割:   ∫ sec(x)*tanx dx = sec x +C

                            原余割:   ∫ csc (x)*cotx dx = -csc x + C

                            原余切:   ∫ 1/sin^2(x) dx =∫ csc^2(x) dx = -cot x +C

                            原反正弦: ∫ x/ (1-x^2) dx  = arc sin x +C

                            原反余弦:待定

                            原反正切: ∫ x/(1+ x^2) dx = arc tanx + C

                            原反正割: 待定

                            原反余割:待定

                            原反余切:待定

            5. 原指数函数:

                      普通指数: ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C

                      特殊指数: ∫ e^x dx = e^x +C


补充常见不定积分公式:

 

常见的积分联想:

         1.  1/(x^2 +1) ~ arc tan x 

         2.   tan^2(x) ~ sec^2(x)

         3.   sin^2(x/2) ~ 二倍角公式;

二倍角公式:

         1. sin^2(x) = (1- cos 2x) /2;   

         2. cos^2(x) = (cos 2x +1) /2;    

         3. cos 2x = 2*(cosx)^2 -1 = 1- 2*(sinx)^2;

换元积分法:

         第一类换元法

               若 ∫ f(u) du = F(u) + C, F'(u) = f(u),   则 ∫ f( g(x) ) * g'(x) dx = [ ∫ f(u) du ], u = g(x);

                关键: 1.外函数可积;   2.内函数凑微分;

               eg:  

                       
                      

                     

 常见微分收纳等式:

            1. 幂函数相关: ∫ f(x^n)*x ^(n-1) dx = 1/n ∫  f(x^n) d x^n

                        2x dx = d x^2

                        1/x^2 dx =  - d 1/x

                        1/√x dx =  2d√x

                        1/x dx = d lnx

             2.三角函数相关:

                        sinx dx = - dcos x 

                        cos x dx = dsinx 

                      割与切的关系:

                               (tanx)^2 +1 = (secx)^2; 

                               (cotx)^2 +1 = (cscx)^2;

                      ∫csc x dx = ln | csc x - cot x | +C

                      ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x| + C 

                      ∫ tanx dx = - ln|cos x| + C

                      ∫ cot x dx = ln |sin x| + C

                        三角函数积化和差公式:

                                  sinxcosy =1/2 *[s(x+y) + s(x-y)]

                                  cosxcosy =1/2 *[c(x+y) + c(x-y)]

                                   sinxsiny =  -1/2 *[c(x+y) - c(x-y)]

              3.指数: e^x dx = d e^x;

     第二类换元法(反解x)

            步骤: 1.换元:  x= g(t) ;

                        2. dx = g'(t)dt

                        3.求出 F(t) + C ,回代: t = g^(-1) (x), 反函数。

            常见代换:

                    1.有理代换:(一次式,一次式相除)

                          ∫ ()dx ,令 u = 求解;

                    2.三角代换(二次式):

                          , 可令: x = asin t 

                           , 可令: x = a sec t

                           ,   可令: x = a tan t , 或者 a cot t ;

                          注意: 三角代换的回代 , 需要使用 勾股定理;

                    3.倒数代换:(分母较高时适用)

                           即 令 x = 1/t, 求解。  

分布积分法:

         1.形式一: ∫ u v' dx = uv - ∫u' vdx, 步骤: 观察 --》 凑微分---》 分步积分 

                 原则: 1.dv要容易凑出;   2. ∫vdu 比 ∫u dv 容易;

         2. 形式二:∫ udv = uv - ∫vdu

         总结(注意,这里的uv是形参,虽没有实际意义,但是一旦确定,它便具有了位置属性。从形参而言,默认v的复杂度是要高于u的。 原函数中,v'是将复杂度高的函数进行展开,加大整体复杂度; ∫vdu则是期望uv二者均往小的复杂度上运算):

                    uv的选取:

                            幂函数 与 指数函数,对数函数相乘时,幂函数 作为 u;

                            相对的,当幂函数与 对数,反三角函数相乘时,选幂函数 作为 v;

                            基本函数中,选取u的优先级: 反,对,幂,指,三;       

                             2019.3.6修改有误笔记:    反对幂三指。    

                     注: 微分收纳的前提: 内部一致,eg: cos 3x dx =/= d sin3x = 1/3 dsin3x

有理函数的积分:(拆分式)

      有理函数的分类:

              1.真分式: 分子最高次< 分母最高次

              2.假分式: 分子最高次> 分母最高次

       真分式:

             对真分式p(x)/q(x),若分母可分成 两个 多项式 乘积, 即 q(x) = q1(x1)*q2(x2),且它们无公因式,则它们一定可以拆分成两个真分式之和。 即:

             二次多项式不能拆分,则能拆分成 a^2 + b^2的方式;

补充:循环分布积分法

    

   

         

        

          

  

    

    

 

    

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