Description
给定n，求斐波那契数列第n项对1e9+7取模的值
Solution
由于数据太大，朴素的递推会超时，所以我们考虑用矩阵优化。
首先我们要明确矩阵乘法的运算法则，假设A是一个n*m的矩阵，B是一个m*p的矩阵，C是一个n*p的矩阵且满足C=A*B，那么存在
$$C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{m}{A_{i,k}*B_{k,j}}$$
举一个简单的例子就能直观的反映这个式子：
$$
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \\
4 & 5
\end{matrix}
\right] \times
\left[
\begin{matrix}
6 \\
7
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
2*6+3*7 \\
4*6+5*7
\end{matrix}
\right]
$$
然后我们考虑如何优化斐波那契数列
Code
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int mod = 1e9 + 7;
4 typedef long long ll;
5 ll n;
6 struct Matrix {
7 ll m[3][3];
8 Matrix() {
9 memset(m, 0, sizeof(m));
10 }
11 Matrix operator *(const Matrix &x) const {
12 Matrix ret;
13 for (register int i = 1; i <= 2; ++i)
14 for (register int j = 1; j <= 2; ++j)
15 for (register int k = 1; k <= 2; ++k)
16 ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + m[i][k] * x.m[k][j]) % mod;
17 return ret;
18 }
19 } a, base;
20 void qpow(ll p) {
21 while (p) {
22 if (p & 1) a = a * base;
23 base = base * base;
24 p >>= 1;
25 }
26 }
27 int main() {
28 scanf("%lld", &n);
29 if (n <= 2) {
30 puts("1");
31 return 0;
32 }
33 base.m[1][1] = base.m[1][2] = base.m[2][1] = 1;
34 a.m[1][1] = a.m[1][2] = 1;
35 qpow(n - 2);
36 printf("%lld\n", a.m[1][1] % mod);
37 return 0;
38 }