定义
设 
是有序集，且 
，表示有序集 S 的二叉搜索树利用二叉树的结点来存储有序集中的元素。它具有下述性质：存储于每个结点中的元素 x 大于其左子树中任一结点所存储的元素，小于其右子树中任一结点所存储的元素。二叉搜索树的叶节点是形如 
的开区间。在表示 S 的二叉搜索树中搜索一个元素 x ，返回的结果有两种情况：
① 在二叉搜索树的内结点中找到 
，令其概率为 
② 在二叉搜索树的叶节点中确定 
，令其概率为 
。
表示 x 小于 
的值的概率，
表示所有 x 大于 
的值的概率，
表示 x 位于 
和 
值的概率。
显然，有 
，
，
，
称为集合 S 的存取概率分布。
在表示 S 的二叉搜索树 T 中，设存储元素 的结点深度为 
，叶节点 的结点深度为 
，则
表示在二叉搜索树 T 中进行一次搜索所需的平均比较次数，p又称为二叉搜索树 T 的平均路长。在一般情况下，不同的二叉搜索树的平均路上是不相同的。
所以，最优二叉搜索树问题是对于有序集 S 及其存取概率分布 
，在所有表示有序集 S 的二叉搜索树中找出一颗具有最小平均路长的二叉搜索树。
最优子结构性质
二叉搜索树 T 的一棵含有结点 
和叶节点 
的子树可以看做是有序集 
关于全集合
的一棵二叉搜索树，其存取概率为下面的条件概率
设 
是有序集 关于存取概率 
的一棵最优二叉搜索树，其平均路长为 
。 的根结点存储元素 
。其左右子树 
和 
的平均路长分别为 
和 
。由于 和 中结点深度是他们在 中的结点深度减1，所以得出
由于 是关于集合 
的一棵二叉搜索树，故 
。若
，则用 
替换 可得到平均路长比 更小的二叉搜索树。这与 是最优二叉搜索树矛盾。故 是一棵最优二叉搜索树。同理，也是一棵最优二叉搜索树。
因此最优二叉搜索树问题具有最优子结构性质。
实现
#include <iostream>
using namespace std;
const int MaxVal=9999,n=5;
double p[n+1] = {-1,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2}; //搜索到内部节点的概率
double q[n+1] = {0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1}; //搜索到虚拟键的概率
int root[n+1][n+1]; //记录根节点
double w[n+2][n+2]; //子树概率总和
double e[n+2][n+2]; //子树期望代价
void optimalBST(int n)
{
int i,j,k,len;
for (i=1;i<=n+1;++i)
{
w[i][i-1]=q[i-1];
e[i][i-1]=q[i-1];
}
for(len=1;len<=n;++len)
{
for(i=1;i<=n-len+1;++i)
{
j=i+len-1;
e[i][j]=MaxVal;
w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
for(k=i;k<=j;++k)
{
double temp=e[i][k-1]+e[k+1][j]+w[i][j];
if (temp<e[i][j])
{
e[i][j]=temp;
root[i][j]=k;
}
}
}
}
}
void printOptimalBST(int i,int j,int r)
{
int rootChild = root[i][j];
if (rootChild == root[1][n])
{
printf("k%d 是根\n",rootChild);
printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);
return;
}
if (j < i - 1) return;
else if (j == i - 1)
{
if (j < r) printf("d%d 是 k%d 的左孩子\n",j,r);
else printf("d%d 是 k%d 的右孩子\n",j,r);
return;
}
else
{
if (rootChild < r) printf("k%d 是 k%d 的左孩子\n",rootChild,r);
else printf("k%d 是 k%d 的左孩子\n",rootChild,r);
}
printOptimalBST(i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(rootChild + 1,j,rootChild);
}
int main()
{
optimalBST(n);
cout << "最优二叉树结构：" << endl;
printOptimalBST(1,n,-1);
system("pause");
return 0;
}