前置芝士：麦克拉伦展开，泰勒展开，牛顿迭代，快速傅里叶变换，标记（$mod x^n$）。
正片：
1.多项式加法。
2.多项式减法。
3.多项式乘法。
4.多项式求逆。
5.多项式带余除法。
6.多项式开根。
7.多项式对数函数。
8.多项式指数函数。
9.多项式的k次幂/k次方根
10.多项式插值
正片开始：
1.多项式加法：（略）
2.多项式减法：（略）
3.多项式乘法：（FFT即可）
4.多项式求逆：
设原多项式为$H(x)$，所求为$F(x)(mod \; x^t)$
假设对于所求多项式$G(x)\equiv F(x)(mod \; x^n)$的$G(x)$已经得到，那么:
$G(x)H(x)\equiv 1(mod \; x^n)$
$G(x)H(x)-1\equiv 0(mod \; x^n)$
$[G(x)H(x)-1]^2\equiv 0(mod \; x^{2n})$
$G(x)^2H(x)^2-2G(x)H(x)+1\equiv 0(mod \; x^{2n})$
$G(x)H(x)[2-G(x)H(x)]\equiv 1(mod \; x^{2n})$
$\frac{1}{H(x)}\equiv G(x)[2-G(x)H(x)](mod \; x^{2n})$
$F(x)\equiv G(x)[2-G(x)H(x)](mod \; x^{2n})$
这样就可以倍增地得到F(x)，边界条件为常数项为原多项式常数项的逆元。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 typedef long long lnt;
5 const lnt mod=998244353;
6 lnt A[1000000];
7 lnt B[1000000];
8 lnt C[1000000];
9 int pos[1000000];
10 int len;
11 int n;
12 lnt ksm(lnt a,lnt b)
13 {
14 lnt ans=1;
15 while(b)
16 {
17 if(b&1)ans=ans*a%mod;
18 a=a*a%mod;
19 b=b/2;
20 }
21 return ans;
22 }
23 void NTT(lnt *a,int flag)
24 {
25 for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
26 for(int i=2;i<=len;i<<=1)
27 {
28 lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
29 for(int j=0;j<len;j+=i)
30 {
31 lnt w=1,t;
32 for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
33 {
34 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
35 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
36 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
37 }
38 }
39 }
40 if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
41 return ;
42 }
43 void INV(lnt *a,lnt *b,int lim)
44 {
45 if(lim==1)
46 {
47 b[0]=ksm(a[0],mod-2);
48 return ;
49 }
50 INV(a,b,lim-1);
51 len=1<<lim;
52 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
53 memcpy(C,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
54 NTT(C,1),NTT(b,1);
55 for(int i=0;i<len;i++)C[i]=b[i]*(2-C[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
56 NTT(C,-1);
57 lnt inv=ksm(len,mod-2);
58 for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=C[i]*inv%mod;
59 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
60 return ;
61 }
62 int main()
63 {
64 scanf("%d",&n);
65 int l=0;
66 while((1<<l)<(n<<1))l++;
67 for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&A[i]);
68 INV(A,B,l);
69 for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(B[i]%mod+mod)%mod);
70 puts("");
71 return 0;
72 }
5.多项式带余除法：
余项不容易搞定，那么就想办法将余项消掉。
构造一种巧妙的方法。
定义$A^R(x)$为$A(x)$的系数反转的多项式。
例如：$A(x)=x+2$,则$A^R(x)=2x+1$，
这样就可以将$R(x)$的系数转上去被余掉，考虑如下方法实现：
原多项式关系为$A(x)=B(x)C(x)+R(x)$，$A(x)$的最高次为$n$，$B(x)为$m$，$C(x)$为$n-m$,$R(x)$为$m-1$。
$A(x)=x^nA^R(\frac{1} {x})$
$x^nA^R(\frac{1} {x})=x^mB^R(\frac{1}{x})x^{n-m}C^R(\frac{1}{x})+x^{m-1}R^R(\frac{1}{x})x^{n-m+1}$
这时发现$C(x)$的次数为$n-m$所以整个式子在$mod \;x^{n-m+1}$下求出的$C(x)$是无损的。
而且正好将$R(x)$忽略了。就只需要多项式求逆解出$C^R(x)$反转系数得到$C(x)$，最后回代得到$R(x)$就好了。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 typedef long long lnt;
5 const lnt mod=998244353;
6 lnt a[1000000];
7 lnt b[1000000];
8 lnt d[1000000];
9 lnt r[1000000];
10 lnt ar[1000000];
11 lnt br[1000000];
12 lnt ibr[1000000];
13 lnt A[1000000];
14 lnt B[1000000];
15 int n,m;
16 int len;
17 int pos[1000000];
18 lnt ksm(lnt a,lnt b)
19 {
20 lnt ans=1;
21 while(b)
22 {
23 if(b&1)ans=ans*a%mod;
24 a=a*a%mod;
25 b=b/2;
26 }
27 return ans;
28 }
29 void NTT(lnt *a,int flag)
30 {
31 for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
32 for(int i=2;i<=len;i<<=1)
33 {
34 lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
35 for(int j=0;j<len;j+=i)
36 {
37 lnt w=1,t;
38 for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
39 {
40 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
41 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
42 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
43 }
44 }
45 }
46 if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
47 return ;
48 }
49 void Get_inv(lnt *a_,lnt *b_,int lim)
50 {
51 if(lim==1)
52 {
53 b_[0]=ksm(a_[0],mod-2);
54 return ;
55 }
56 Get_inv(a_,b_,lim-1);
57 len=1<<lim;
58 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
59 memcpy(A,a_,sizeof(lnt)*(len>>1));
60 NTT(A,1),NTT(b_,1);
61 for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b_[i]*(2ll-A[i]*b_[i]%mod+mod)%mod;
62 NTT(A,-1);
63 lnt INV=ksm(len,mod-2);
64 for(int i=0;i<len>>1;i++)b_[i]=A[i]*INV%mod;
65 memset(b_+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
66 return ;
67 }
68 int main()
69 {
70 scanf("%d%d",&n,&m);
71 for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
72 for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%lld",&b[i]);
73 std::reverse(a,a+n+1);memcpy(ar,a,sizeof(a));
74 std::reverse(b,b+m+1);memcpy(br,b,sizeof(b));
75 std::reverse(a,a+n+1);std::reverse(b,b+m+1);
76 memset(br+n-m+1,0,sizeof(lnt)*m);
77 memset(ar+n-m+1,0,sizeof(lnt)*m);
78 int lim=0;
79 while((1<<lim)<((n-m+1)<<1))lim++;
80 Get_inv(br,ibr,lim);
81 len=1<<lim;
82 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
83 NTT(ar,1);NTT(ibr,1);
84 for(int i=0;i<len;i++)d[i]=ar[i]*ibr[i]%mod;
85 NTT(d,-1);
86 lnt INV=ksm(len,mod-2);
87 for(int i=0;i<len;i++)d[i]=d[i]*INV%mod;
88 std::reverse(d,d+n-m+1);
89 for(int i=0;i<=n-m;i++)printf("%lld ",(d[i]%mod+mod)%mod);
90 puts("");
91 memset(d+n-m+1,0,sizeof(lnt)*n);
92 lim=0;
93 while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
94 len=1<<lim;
95 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
96 NTT(d,1),NTT(a,1),NTT(b,1);
97 for(int i=0;i<len;i++)r[i]=(a[i]-b[i]*d[i]%mod+mod)%mod;
98 NTT(r,-1);INV=ksm(len,mod-2);
99 for(int i=0;i<len;i++)r[i]=r[i]*INV%mod;
100 for(int i=0;i<m;i++)printf("%lld ",(r[i]%mod+mod)%mod);
101 puts("");
102 return 0;
103 }
6.多项式开根
这里先不介绍那个指对数混合的方法。
继续推式子：
假设已经知道了$F_0(x)^2\equiv G(x)(mod\;x^n)$
那么：$[F_0(x)^2-G(x)]^2\equiv0(mod\;x^{2n})$
$[F_0(x)^2+G(x)]^2\equiv 4G(x)F_0(x)^2(mod\;x^{2n})$
$[\frac{F_0(x)^2+G(x)}{2F_0(x)}]^2\equiv G(x)(mod\;x^{2n})$
所以：$\frac{F_0(x)^2+G(x)}{2F_0(x)}\equiv F(x)(mod\;x^{2n})$
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 typedef long long lnt;
5 const lnt mod=998244353;
6 lnt A[1000000];
7 lnt B[1000000];
8 lnt C[1000000];
9 lnt f[1000000];
10 lnt g[1000000];
11 int n;
12 int len;
13 int pos[1000000];
14 lnt ksm(lnt a,lnt b)
15 {
16 lnt ans=1;
17 while(b)
18 {
19 if(b&1)ans=ans*a%mod;
20 a=a*a%mod;
21 b=b/2;
22 }
23 return ans;
24 }
25 void NTT(lnt *a,int flag)
26 {
27 for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
28 for(int i=2;i<=len;i<<=1)
29 {
30 lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
31 for(int j=0;j<len;j+=i)
32 {
33 lnt w=1,t;
34 for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
35 {
36 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
37 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
38 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
39 }
40 }
41 }
42 if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
43 return ;
44 }
45 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
46 {
47 if(lim==1)
48 {
49 b[0]=1;
50 return ;
51 }
52 Get_inv(a,b,lim-1);
53 len=1<<lim;
54 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
55 memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
56 NTT(A,1),NTT(b,1);
57 for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
58 NTT(A,-1);
59 lnt INV=ksm(len,mod-2);
60 for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
61 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
62 return ;
63 }
64 void Get_sqrt(lnt *a,lnt *b,int lim)
65 {
66 if(lim==1)
67 {
68 b[0]=1;
69 return ;
70 }
71 Get_sqrt(a,b,lim-1);
72 memset(C,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
73 memset(B,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
74 memset(A,0,sizeof(lnt)*(1<<lim));
75 Get_inv(b,C,lim);
76 len=1<<lim;
77 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
78 memcpy(B,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
79 NTT(C,1);NTT(B,1);NTT(b,1);
80 lnt inv2=ksm(2,mod-2);
81 for(int i=0;i<len;i++)B[i]=inv2*((b[i]+B[i]*C[i]%mod)%mod)%mod;
82 NTT(B,-1);
83 lnt INV=ksm(len,mod-2);
84 for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=B[i]*INV%mod;
85 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
86 return ;
87 }
88 int main()
89 {
90 scanf("%d",&n);
91 for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]),f[i]%=mod;
92 int lim=0;
93 while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
94 Get_sqrt(f,g,lim);
95 for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(g[i]%mod+mod)%mod);
96 puts("");
97 return 0;
98 }
7.多项式对数函数（ln）
考虑$f(x)=ln(g(x))$
则$f'(x)=\frac{1}{g(x)}g'(x)$
多项式求逆即可。
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 typedef long long lnt;
5 const lnt mod=998244353;
6 lnt A[1000010];
7 lnt B[1000010];
8 lnt C[1000010];
9 lnt f[1000010];
10 int pos[1000000];
11 int len;
12 int n;
13 lnt ksm(lnt a,lnt b)
14 {
15 lnt ans=1;
16 while(b)
17 {
18 if(b&1)ans=ans*a%mod;
19 a=a*a%mod;
20 b=b/2;
21 }
22 return ans;
23 }
24 void NTT(lnt *a,int flag)
25 {
26 for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
27 for(int i=2;i<=len;i<<=1)
28 {
29 lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
30 for(int j=0;j<len;j+=i)
31 {
32 lnt w=1,t;
33 for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
34 {
35 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
36 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
37 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
38 }
39 }
40 }
41 if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
42 return ;
43 }
44 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
45 {
46 if(lim==1)
47 {
48 b[0]=ksm(a[0],mod-2);
49 return ;
50 }
51 Get_inv(a,b,lim-1);
52 len=1<<lim;
53 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
54 memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
55 NTT(A,1),NTT(b,1);
56 for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
57 NTT(A,-1);
58 lnt INV=ksm(len,mod-2);
59 for(int i=0;i<(len>>1);i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
60 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
61 return ;
62 }
63 void Derivation(lnt *a,lnt *b)
64 {
65 b[len-1]=0;
66 for(int i=0;i<len-1;i++)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;
67 return ;
68 }
69 void Integral(lnt *a,lnt *b)
70 {
71 b[0]=0;
72 for(int i=0;i<len-1;i++)b[i+1]=a[i]*ksm(i+1,mod-2)%mod;
73 return ;
74 }
75 void ln(lnt *a)
76 {
77 int lim=0;
78 while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
79 len=1<<lim;
80 Derivation(a,C);
81 Get_inv(a,B,lim);
82 len=1<<lim;
83 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
84 NTT(B,1),NTT(C,1);
85 for(int i=0;i<len;i++)C[i]=C[i]*B[i]%mod;
86 NTT(C,-1);
87 lnt INV=ksm(len,mod-2);
88 for(int i=0;i<len;i++)C[i]=C[i]*INV%mod;
89 Integral(C,a);
90 return ;
91 }
92 int main()
93 {
94 scanf("%d",&n);
95 for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
96 ln(f);
97 for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(f[i]%mod+mod)%mod);
98 puts("");
99 return 0;
100 }
8.多项式指数函数（exp）
这个就需要牛顿迭代了。
假设我们原多项式为$H(x)$，所求多项式为$F(x)$
假设我们有一个函数$G(F(x))\equiv 0 (mod\; x^n)$
我们已经得到$G(F_0(x))\equiv 0(mod\;x^n)$
那么写成泰勒展开，就得到了：
$G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))\equiv 0 (mod\; x^{2n})$
这里$G(x)=lnF(x)-H(x)$
代入上式得到：
$F(x)\equiv F_0(x)(1-ln(F_0(x))+H(x))(mod\;x^{2n})$
代码：
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 typedef long long lnt;
5 const lnt mod=998244353;
6 lnt A[1000000];
7 lnt B[1000000];
8 lnt C[1000000];
9 lnt D[1000000];
10 lnt E[1000000];
11 lnt f[1000000];
12 lnt g[1000000];
13 int n;
14 int len;
15 int pos[1000000];
16 lnt ksm(lnt a,lnt b)
17 {
18 lnt ans=1;
19 while(b)
20 {
21 if(b&1)ans=ans*a%mod;
22 a=a*a%mod;
23 b=b/2;
24 }
25 return ans;
26 }
27 void NTT(lnt *a,int flag)
28 {
29 for(int i=0;i<len;i++)if(i<pos[i])std::swap(a[i],a[pos[i]]);
30 for(int i=2;i<=len;i<<=1)
31 {
32 lnt wn=ksm(3,(mod-1)/i);
33 for(int j=0;j<len;j+=i)
34 {
35 lnt w=1,t;
36 for(int k=0;k<(i>>1);k++,w=w*wn%mod)
37 {
38 t=a[j+k+(i>>1)]*w%mod;
39 a[j+k+(i>>1)]=(a[j+k]-t)%mod;
40 a[j+k]=(a[j+k]+t)%mod;
41 }
42 }
43 }
44 if(flag==-1)std::reverse(a+1,a+len);
45 return ;
46 }
47 void Get_inv(lnt *a,lnt *b,int lim)
48 {
49 if(lim==1)
50 {
51 b[0]=ksm(a[0],mod-2);
52 return ;
53 }
54 Get_inv(a,b,lim-1);
55 len=1<<lim;
56 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
57 memcpy(A,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
58 NTT(A,1),NTT(b,1);
59 for(int i=0;i<len;i++)A[i]=b[i]*(2ll-A[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
60 NTT(A,-1);
61 lnt INV=ksm(len,mod-2);
62 for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=A[i]*INV%mod;
63 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
64 return ;
65 }
66 void derivation(lnt *a,lnt *b)
67 {
68 b[len-1]=0;
69 for(int i=1;i<len;i++)b[i-1]=a[i]*i%mod;
70 return ;
71 }
72 void integral(lnt *a,lnt *b)
73 {
74 b[0]=0;
75 for(int i=1;i<len;i++)b[i]=a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
76 return ;
77 }
78 void Get_ln(lnt *a,lnt *b,int lim)
79 {
80 len=1<<lim;
81 derivation(a,B);
82 Get_inv(a,C,lim);
83 len=1<<lim;
84 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
85 NTT(B,1);
86 NTT(C,1);
87 for(int i=0;i<len;i++)B[i]=B[i]*C[i]%mod;
88 NTT(B,-1);
89 lnt INV=ksm(len,mod-2);
90 for(int i=0;i<len;i++)B[i]=B[i]*INV%mod;
91 integral(B,b);
92 return ;
93 }
94 void Get_exp(lnt *a,lnt *b,int lim)
95 {
96 if(lim==1)
97 {
98 b[0]=1;
99 return ;
100 }
101 Get_exp(a,b,lim-1);
102 len=1<<lim;
103 memset(A,0,sizeof(lnt)*len);
104 memset(B,0,sizeof(lnt)*len);
105 memset(C,0,sizeof(lnt)*len);
106 memset(D,0,sizeof(lnt)*len);
107 memset(E,0,sizeof(lnt)*len);
108 Get_ln(b,D,lim);
109 len=1<<lim;
110 for(int i=0;i<len;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
111 memcpy(E,a,sizeof(lnt)*(len>>1));
112 NTT(b,1);NTT(D,1);NTT(E,1);
113 for(int i=0;i<len;i++)D[i]=b[i]*(1ll-D[i]+E[i])%mod;
114 NTT(D,-1);
115 lnt INV=ksm(len,mod-2);
116 for(int i=0;i<len>>1;i++)b[i]=D[i]*INV%mod;
117 memset(b+(len>>1),0,sizeof(lnt)*(len>>1));
118 return ;
119 }
120 int main()
121 {
122 scanf("%d",&n);
123 for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
124 int lim=0;
125 while((1<<lim)<(n<<1))lim++;
126 Get_exp(f,g,lim);
127 for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(g[i]%mod+mod)%mod);
128 return 0;
129 }
来源：https://www.cnblogs.com/blog-Dr-J/p/10487228.html