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树链剖分详解（洛谷模板 P3384）

由 假如想象 提交于 2019-12-04 21:59:13

树链剖分详解（洛谷模板 P3384）

 

洛谷·[模板]树链剖分

写在前面

首先，在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了
emm还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。

如果这三个知识点没掌握好的话，树链剖分难以理解也是当然的。

树链剖分

树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
需要处理的问题：

  • 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
  • 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
  • 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
  • 求以x为根节点的子树内所有节点值之和

目录：

概念

  • 重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 以那个儿子为根的子树节点数最大的儿子 为该节点的重儿子 (Ps: 感谢@shzr大佬指出我此句话的表达不严谨qwq, 已修改)
  • 轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
  • 叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子。。）
  • 重边：一个父亲连接他的重儿子的边称为重边 //原写法：连接任意两个重儿子的边叫做重边
  • 轻边：剩下的即为轻边
  • 重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
    • 对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
    • 每一条重链以轻儿子为起点

dfs1()

这个dfs要处理几件事情：

  • 标记每个点的深度dep[]
  • 标记每个点的父亲fa[]
  • 标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
  • 标记每个非叶子节点的重儿子编号son[]
inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度 
    dep[x]=deep;//标记每个点的深度 
    fa[x]=f;//标记每个点的父亲 
    siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小 
    int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;//若为父亲则continue 
        dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子 
        siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上 
        if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号 
    }
}//变量解释见最下面

dfs2()

这个dfs2也要预处理几件事情

  • 标记每个点的新编号
  • 赋值每个点的初始值到新编号上
  • 处理每个点所在链的顶端
  • 处理每条链

顺序：先处理重儿子再处理轻儿子，理由后面说

inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点 
    id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号 
    wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来 
    top[x]=topf;//这个点所在链的顶端 
    if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回 
    dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
        dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 
    }
}//变量解释见最下面

处理问题

Attention 重要的来了！！！
前面说到dfs2的顺序是先处理重儿子再处理轻儿子
我们来模拟一下：

  • 因为顺序是先重再轻，所以每一条重链的新编号是连续的
  • 因为是dfs，所以每一个子树的新编号也是连续的

现在回顾一下我们要处理的问题

  • 处理任意两点间路径上的点权和
  • 处理一点及其子树的点权和
  • 修改任意两点间路径上的点权
  • 修改一点及其子树的点权

1、当我们要处理任意两点间路径时：
设所在链顶端的深度更深的那个点为x点

  • ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
  • 把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点

不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可

这时我们注意到，我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号)，于是想到线段树，用线段树处理连续编号区间和
每次查询时间复杂度为O(log2n)O(log2⁡n)

inline int qRange(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上 
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点
        res=0;
        query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);//ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
        ans+=res;
        ans%=mod;//按题意取模 
        x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
    }
    //直到两个点处于一条链上
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);//把x点深度更深的那个点
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[y]);//这时再加上此时两个点的区间和即可
    ans+=res;
    return ans%mod;
}//变量解释见最下面

2、处理一点及其子树的点权和：
想到记录了每个非叶子节点的子树大小(含它自己)，并且每个子树的新编号都是连续的
于是直接线段树区间查询即可
时间复杂度为O(logn)O(log⁡n)

inline int qSon(int x){
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1 
    return res;
}

当然，区间修改就和区间查询一样的啦~~

inline void updRange(int x,int y,int k){
    k%=mod;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    update(1,1,n,id[x],id[y],k);
}

inline void updSon(int x,int k){
    update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k);
}//变量解释见最下面

建树

既然前面说到要用线段树，那么按题意建树就可以啦！
不过，建树这一步当然是在处理问题之前哦~

AC代码：

  1 #include<algorithm>
  2 #include<iostream>
  3 #include<cstdlib>
  4 #include<cstring>
  5 #include<cstdio>
  6 #define Rint register int
  7 #define mem(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
  8 #define Temp template<typename T>
  9 using namespace std;
 10 typedef long long LL;
 11 Temp inline void read(T &x){
 12     x=0;T w=1,ch=getchar();
 13     while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
 14     if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
 15     while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
 16     x=x*w;
 17 }
 18 
 19 #define mid ((l+r)>>1)
 20 #define lson rt<<1,l,mid
 21 #define rson rt<<1|1,mid+1,r
 22 #define len (r-l+1)
 23 
 24 const int maxn=200000+10;
 25 int n,m,r,mod;
 26 //见题意 
 27 int e,beg[maxn],nex[maxn],to[maxn],w[maxn],wt[maxn];
 28 //链式前向星数组，w[]、wt[]初始点权数组 
 29 int a[maxn<<2],laz[maxn<<2];
 30 //线段树数组、lazy操作 
 31 int son[maxn],id[maxn],fa[maxn],cnt,dep[maxn],siz[maxn],top[maxn]; 
 32 //son[]重儿子编号,id[]新编号,fa[]父亲节点,cnt dfs_clock/dfs序,dep[]深度,siz[]子树大小,top[]当前链顶端节点 
 33 int res=0;
 34 //查询答案 
 35 
 36 inline void add(int x,int y){//链式前向星加边 
 37     to[++e]=y;
 38     nex[e]=beg[x];
 39     beg[x]=e;
 40 }
 41 //-------------------------------------- 以下为线段树 
 42 inline void pushdown(int rt,int lenn){
 43     laz[rt<<1]+=laz[rt];
 44     laz[rt<<1|1]+=laz[rt];
 45     a[rt<<1]+=laz[rt]*(lenn-(lenn>>1));
 46     a[rt<<1|1]+=laz[rt]*(lenn>>1);
 47     a[rt<<1]%=mod;
 48     a[rt<<1|1]%=mod;
 49     laz[rt]=0;
 50 }
 51 
 52 inline void build(int rt,int l,int r){
 53     if(l==r){
 54         a[rt]=wt[l];
 55         if(a[rt]>mod)a[rt]%=mod;
 56         return;
 57     }
 58     build(lson);
 59     build(rson);
 60     a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod;
 61 }
 62 
 63 inline void query(int rt,int l,int r,int L,int R){
 64     if(L<=l&&r<=R){res+=a[rt];res%=mod;return;}
 65     else{
 66         if(laz[rt])pushdown(rt,len);
 67         if(L<=mid)query(lson,L,R);
 68         if(R>mid)query(rson,L,R);
 69     }
 70 }
 71 
 72 inline void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k){
 73     if(L<=l&&r<=R){
 74         laz[rt]+=k;
 75         a[rt]+=k*len;
 76     }
 77     else{
 78         if(laz[rt])pushdown(rt,len);
 79         if(L<=mid)update(lson,L,R,k);
 80         if(R>mid)update(rson,L,R,k);
 81         a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod;
 82     }
 83 }
 84 //---------------------------------以上为线段树 
 85 inline int qRange(int x,int y){
 86     int ans=0;
 87     while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上 
 88         if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点
 89         res=0;
 90         query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);//ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
 91         ans+=res;
 92         ans%=mod;//按题意取模 
 93         x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
 94     }
 95     //直到两个点处于一条链上
 96     if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);//把x点深度更深的那个点
 97     res=0;
 98     query(1,1,n,id[x],id[y]);//这时再加上此时两个点的区间和即可
 99     ans+=res;
100     return ans%mod;
101 }
102 
103 inline void updRange(int x,int y,int k){//同上 
104     k%=mod;
105     while(top[x]!=top[y]){
106         if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
107         update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
108         x=fa[top[x]];
109     }
110     if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
111     update(1,1,n,id[x],id[y],k);
112 }
113 
114 inline int qSon(int x){
115     res=0;
116     query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1 
117     return res;
118 }
119 
120 inline void updSon(int x,int k){//同上 
121     update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k);
122 }
123 
124 inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度 
125     dep[x]=deep;//标记每个点的深度 
126     fa[x]=f;//标记每个点的父亲 
127     siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小 
128     int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数 
129     for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
130         int y=to[i];
131         if(y==f)continue;//若为父亲则continue 
132         dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子 
133         siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上 
134         if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号 
135     }
136 }
137 
138 inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点 
139     id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号 
140     wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来 
141     top[x]=topf;//这个点所在链的顶端 
142     if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回 
143     dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理 
144     for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
145         int y=to[i];
146         if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
147         dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 
148     }
149 }
150 
151 int main(){
152     read(n);read(m);read(r);read(mod);
153     for(Rint i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
154     for(Rint i=1;i<n;i++){
155         int a,b;
156         read(a);read(b);
157         add(a,b);add(b,a);
158     }
159     dfs1(r,0,1);
160     dfs2(r,r);
161     build(1,1,n);
162     while(m--){
163         int k,x,y,z;
164         read(k);
165         if(k==1){
166             read(x);read(y);read(z);
167             updRange(x,y,z);
168         }
169         else if(k==2){
170             read(x);read(y);
171             printf("%d\n",qRange(x,y));
172         }
173         else if(k==3){
174             read(x);read(y);
175             updSon(x,y);
176         }
177         else{
178             read(x);
179             printf("%d\n",qSon(x));
180         }
181     }
182 }

 

洛谷·[模板]树链剖分

写在前面

首先，在学树链剖分之前最好先把 LCA、树形DP、DFS序 这三个知识点学了
emm还有必备的 链式前向星、线段树 也要先学了。

如果这三个知识点没掌握好的话，树链剖分难以理解也是当然的。

树链剖分

树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
需要处理的问题：

  • 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
  • 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
  • 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
  • 求以x为根节点的子树内所有节点值之和

目录：

概念

  • 重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 以那个儿子为根的子树节点数最大的儿子 为该节点的重儿子 (Ps: 感谢@shzr大佬指出我此句话的表达不严谨qwq, 已修改)
  • 轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
  • 叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子。。）
  • 重边：一个父亲连接他的重儿子的边称为重边 //原写法：连接任意两个重儿子的边叫做重边
  • 轻边：剩下的即为轻边
  • 重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
    • 对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
    • 每一条重链以轻儿子为起点

dfs1()

这个dfs要处理几件事情：

  • 标记每个点的深度dep[]
  • 标记每个点的父亲fa[]
  • 标记每个非叶子节点的子树大小(含它自己)
  • 标记每个非叶子节点的重儿子编号son[]
inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度 
    dep[x]=deep;//标记每个点的深度 
    fa[x]=f;//标记每个点的父亲 
    siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小 
    int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;//若为父亲则continue 
        dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子 
        siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上 
        if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号 
    }
}//变量解释见最下面

dfs2()

这个dfs2也要预处理几件事情

  • 标记每个点的新编号
  • 赋值每个点的初始值到新编号上
  • 处理每个点所在链的顶端
  • 处理每条链

顺序：先处理重儿子再处理轻儿子，理由后面说

inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点 
    id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号 
    wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来 
    top[x]=topf;//这个点所在链的顶端 
    if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回 
    dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
        dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 
    }
}//变量解释见最下面

处理问题

Attention 重要的来了！！！
前面说到dfs2的顺序是先处理重儿子再处理轻儿子
我们来模拟一下：

  • 因为顺序是先重再轻，所以每一条重链的新编号是连续的
  • 因为是dfs，所以每一个子树的新编号也是连续的

现在回顾一下我们要处理的问题

  • 处理任意两点间路径上的点权和
  • 处理一点及其子树的点权和
  • 修改任意两点间路径上的点权
  • 修改一点及其子树的点权

1、当我们要处理任意两点间路径时：
设所在链顶端的深度更深的那个点为x点

  • ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
  • 把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点

不停执行这两个步骤，直到两个点处于一条链上，这时再加上此时两个点的区间和即可

这时我们注意到，我们所要处理的所有区间均为连续编号(新编号)，于是想到线段树，用线段树处理连续编号区间和
每次查询时间复杂度为O(log2n)O(log2⁡n)

inline int qRange(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上 
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点
        res=0;
        query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);//ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和
        ans+=res;
        ans%=mod;//按题意取模 
        x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
    }
    //直到两个点处于一条链上
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);//把x点深度更深的那个点
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[y]);//这时再加上此时两个点的区间和即可
    ans+=res;
    return ans%mod;
}//变量解释见最下面

2、处理一点及其子树的点权和：
想到记录了每个非叶子节点的子树大小(含它自己)，并且每个子树的新编号都是连续的
于是直接线段树区间查询即可
时间复杂度为O(logn)O(log⁡n)

inline int qSon(int x){
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1 
    return res;
}

当然，区间修改就和区间查询一样的啦~~

inline void updRange(int x,int y,int k){
    k%=mod;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    update(1,1,n,id[x],id[y],k);
}

inline void updSon(int x,int k){
    update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k);
}//变量解释见最下面

建树

既然前面说到要用线段树，那么按题意建树就可以啦！
不过，建树这一步当然是在处理问题之前哦~

AC代码：

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