Manacher算法--求最长回文子串

回文和回文子串

回文串：顺着读和倒着读都一样的字符串；

回文子串：给定字符串string，若str同时满足以下两个条件：1）str是string的子串；2）str是回文串；那么str就是string的回文子串；

引出问题

要求求出上面string中最长的那个回文子串；

解决方案

方案一：枚举中心位置，对奇数位串和偶数位串分开处理；

int AllAlgorithms::longestPalindrome(const char *s, int n){
    int max,j;
    if (0 == s || n < 1) {
        return 0;
    }
    max = 0;
    
    for (int i = 0; i < n ; ++ i) {//i为回文串的中心
        for ( j = 0; ((i - j) >= 0) && ((i+j) < n); ++j) {//如果回文串的长度是奇数
            if (s[i-j] != s[i+j]) {
                break;
            }
            if ((j * 2 + 1) > max) {
                max = 2*j + 1;
                
            }
        }
        for (j = 0; ((i-j) >= 0) && ((i+j+1) < n); ++j) {//如果回文串的长度是偶数
            if (s[i-j] != s[i+j+1]) {
                break;
            }
            if ((j * 2 + 2) > max) {
                max = 2*j + 2;
                
            }

        }
    }
    return max;
    

}

该方案比较耗时累赘，因为在判断一个串是否是回文串时，需要考虑奇数和偶数位的而不同，要分开处理，就造成了代码的大量冗余，因此该方法不可取；

方案二：Manacher算法

对于一个长度为n的字符串，考虑如下问题：

长度为n的字符串，一定有n-1个“邻接间隙”，在加上首字符的前面，以及尾部字符的后面，一共有n-1+2=n+1个“gap”，然后再加上字符串本身，一共有字符n+n+1=2n+1个，这样一扩展，可以发现，它一定为奇数，因此这样做了扩展后，我们可以只考虑奇数的情况，无需考虑偶数的情况，大大简化了代码；

下面我们就来介绍有关Manacher算法的解决思路是什么样的：

介绍之前先给出两个trick：

1）为处理一致，在字符串最前面加上一位未出现过的字符，如$:

2）用一个数组P[i]来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]），如：

算法的任务：在P[0...i-1]已知的前提下，计算P[i]的值，换句话说就是，在P[0...i-1]已知的前提下，能否为P[i]的计算提供有用的信息；

算法核心：

1）简单遍历，得到i个三元组{k,P[k],k+P[k]},0≤k≤i-1；以k为中心的字符形成的最大回文子串的最右位置是k+P[k]-1；

2）以k+P[k]为关键字，找出上述i各三元组中，k+P[k]最大的那个三元组，记作(id,P[id],id+P[id])，为了简化起见，进一步记mx=id+P[id]，于是得到三元组为(id,P[id],mx)，含义就是：在上述遍历得到的所有三元组中，向右到达最远的位置，就是mx；

3）在计算P[i]的时候，考查i是否落在了区间[0,mx)中：若i落在区间[0,mx)的右侧，说明区间[0,mx)没能控制住i，P[0...i-1]已知的前提下不能为P[i]的计算提供有用的信息；若i落在mx的左侧，则说明[0,mx)控制住了i，可以提供一些有用的信息；

下面我们用图示来看一下Manacher算法的递推关系：

记i关于id的对称点为j，j=2*id-i，如果此时满足：mx-i >P[j]，则：

记my为mx关于id的对称点：my = 2*id-mx;

因为以S[id]为中心的最大回文子串为：S[my+1...id...mx-1]，而S[my+1...id]与S[id...mx-1]对称，i和j也关于id对称，所以P[i]=P[j];

上图中，同样的：

记i关于id的对称点为j，j=2*id-i，如果此时满足：mx-i < P[j]，则：

记my为mx关于id的对称点：my = 2*id-mx;

因为以S[id]为中心的最大回文子串为：S[my+1...id...mx-1]，而S[my+1...id]与S[id...mx-1]对称，i和j也关于id对称，所以P[i]至少是等于上图中绿色框部分，即等于mx-i;

void AllAlgorithms::Manacher(char *s, int *p){
    int size = (int)strlen(s);
    p[0] = 1;
    int id = 0,mx = 1;
    for (int i = 1; i < size; i ++) {
        if (mx > i) {
            p[i] = min(p[2*id - i], mx- i);
        }
        else
            p[i] = 1;
        for (; s[i+p[i]] == s[i- p[i]]; p[i] ++);
        
        if (mx < i + p[i]) {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }
    }
    
}

int AllAlgorithms::min(int a, int b){
    return ((a+b) - abs(a-b))/2;
}

来源：CSDN

作者：eternity1118_

链接：https://blog.csdn.net/eternity1118_/article/details/52068020

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