（一）前言
老生常谈，现在很多写博客的人根本就不管自己抄过来的对不对，有些甚至连转载出处都不标，错误逐渐传播，图片通通copy，影响极其恶劣，令人作呕。正如现在要找一篇数学上证明SVD的文章都很难找到，全都是给你直接讲“直观理解”和所谓的“内涵”，搞来搞去就是复制黏贴那些已经有过的东西，转载的人可能根本连这些自己发的都还搞不懂，滑天下之大稽！
（二）推导
- 定理：设$X_{n×p},rank(X)=r$，且$\lambda_1 \geq ... \geq \lambda_r$为$X^TX$的非零特征值，记$\Lambda^{\frac{1}{2}}=diag(\lambda_1^{\frac{1}{2}},...,\lambda_r^{\frac{1}{2}})$，则存在正交阵$P_{p×p},Q_{n×n}$使得$X=Q \left[ \begin{matrix} \Lambda^{\frac{1}{2}} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0} \end{matrix}\right]P^T$，其中$P$的列向量组为与$X^TX$的$p$个特征值$\lambda_1,...,\lambda_r,0,...,0$对应的特征向量组，$Q$的列向量组为与$XX^T$的$n$个特征值$\lambda_1,...,\lambda_r,0,...,0$对应的特征向量组