Splay && LCT
\(\text{Splay}\)
基本操作
1.\(Zig \& Zag\)
其思想是维护中序遍历不变
实现中我们不真的用\(Zig\)或\(Zag\)
而是注意到他们调用的左右永远是反的
一个函数就可以实现，一定每次看图
inline void rotate(re int x){
re int y=fa[x],z=fa[y],l=*son[x]^x,r=l^1;
if(fa[y])*son[z]==y?*son[z]=x:son[z][1]=x;fa[x]=z;
son[y][l]=son[x][r];fa[son[y][l]]=y;
son[x][r]=y;fa[y]=x;
pushup(x);pushup(y);
}
\(2.Splay\)
有三种情况\(Zig/Zag\)和\(Zig+Zig/Zag+Zag\)和\(Zig+Zag/Zag+Zig\)(永远从下往上)
记住一句话:
后面两个操作只有\(x\)与它父亲不共线就转它两次，否则转它一次
inline void Splay(re int x){
pushdown(x);
while(fa[x]){
if(fa[fa[x]])pushdown(fa[fa[x]]);pushdown(fa[x]);pushdown(x);
if(fa[fa[x]])((*son[fa[fa[x]]]==fa[x])^(*son[fa[x]]==x))?rotate(x):rotate(fa[x]);
rotate(x);
}
\(\text{LCT}\)
定义：
一种用来解决动态树上问题的数据结构
\(1.\)虚实链
每一个\(Splay\)维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
在辅助树上,每个点与自己儿子的链为实链
辅助树的根与其\(LCT\)的父亲的链为虚链
基本操作
\(0.isroot\)查询一个点是否为\(Splay\)的根
inline char isroot(re int x){return *son[fa[x]]^x&&son[fa[x]][1]^x;}
\(1.Access\)
表示把\(x\)与其实儿子边变虚，把到辅助树根链上边变实
inline void Access(re int x){re int y=0;while(x){Splay(x);son[x][1]=y;pushup(x);y=x;x=fa[x];}}
\(2.Evert\)
表示把\(x\)变为原树的根
注意光是变为辅助树的根是不够的还要把深度互换
inline void Reverse(re int x){rev[x]^=1;swap(*son[x],son[x][1]);}
inline void Evert(re int x){Access(x);Splay(x);Reverse(x);}
\(3.Link\)
inline void Link(re int x,re int y){Evert(x);fa[x]=y;}
\(4.Cut\)
inline void Cut(re int x,re int y){Evert(x);Access(y);Splay(y);fa[x]=*son[y]=0;pushup(y);}
\(5.Query\):查询\(x\)到\(y\)一些信息
inline int Query(re int x,re int y){Evert(x);Access(y);Splay(y);return **;}