- 性质：
并查集是一种树型的数据结构。注意这棵树的形态是不固定的，只要所有点的根节点都相同即可。
- 支持操作
- 合并两个集合（merge）
- 查询两个对象是否属于一个集合 (getfather)
- 支持撤销 （按秩合并）
- 基础实现：
1 int getfather(int x){
2 if(fa[x]==x) return x;
3 return fa[x]=getfather(fa[x]);
4 }
5 void merge(int x,int y){
6 x=getfather(x);
7 y=getfather(y);
8 //if(rank[x]<rank[y]) swap(x,y);
9 fa[y]=x;
10 //if(rank[x]==rank[y]) ++rank[x];
11 }
- 复杂度：
路径压缩 O(nlogn) +按秩合并 树深<=O(logn) = O(n α(n)) 。
- 练习：
（一） [HAOI2006]旅行
题意 ：有一个 n 个点，m 条边的图，求一条从 s 到 t 的路径，使得 最大值与最小值的比值最小。
范围 ： n ≤ 500, m ≤ 5000
思路 ：枚举最小边，然后加入比它大的边直到 s 和 t 连通为止。用并查集来支持加入一条边，查询 s,t 是否连通，时间复杂度 O(m2α(n))。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #define M 5050
6 using namespace std;
7 int n,m,s,t,ansx=0,ansy=0,fa[M];
8 double ans1[M],ans2[M],minn=99999999;
9 int read(){
10 int x=0;
11 char a=getchar();
12 while(a<'0'||a>'9') a=getchar();
13 while(a>='0'&&a<='9'){
14 x=x*10+a-'0';
15 a=getchar();
16 }
17 return x;
18 }
19 double min(double x,double y){ // 手写 double min
20 return (x<y)?x:y;
21 }
22 struct ss{
23 int x,y,v;
24 }f[M];
25 bool cmp(ss a,ss b){
26 return a.v<b.v;
27 }
28 int getfather(int x){ //查询
29 if(fa[x]==x) return x;
30 return fa[x]=getfather(fa[x]);
31 }
32 void merge(int x,int y){ // 合并
33 x=getfather(x);
34 y=getfather(y);
35 fa[x]=y;
36 }
37 int main()
38 {
39 memset(ans1,-1,sizeof(ans1));
40 memset(ans2,-1,sizeof(ans2));
41 n=read(),m=read();
42 for(int i=1;i<=m;i++)
43 f[i].x=read(),f[i].y=read(),f[i].v=read();
44 s=read(),t=read();
45 sort(f+1,f+1+m,cmp);
46
47 for(int i=1;i<=m;i++){
48 for(int k=1;k<=n;k++) fa[k]=k;
49 for(int j=i;j<=m;j++){
50 merge(f[j].x,f[j].y);
51 if(getfather(s)==getfather(t)){; //查询s, t是否在一个集合内
52 ans1[i]=f[i].v,ans2[i]=f[j].v;break;
53 }
54
55 }
56 }
57 for(int i=1;i<=m;i++){
58 if(ans1[i]==-1) continue;
59 double k=ans2[i]/ans1[i];
60 if(k<minn){
61 ansx=(int)ans1[i],ansy=(int)ans2[i];
62 minn=k;
63 }
64 }
65 if(ansx==0&&ansy==0) printf("IMPOSSIBLE");
66 else if(ansy%ansx==0) printf("%d",ansy/ansx);
67 else {
68 for(int i=2;i<ansx;i++){
69 if(ansx%i==0&&ansy%i==0) ansx/=i,ansy/=i;
70 }
71 printf("%d/%d",ansy,ansx);
72 }
73 return 0;
74 }
（二）P1525 关押罪犯
题意： 有 n 个罪犯，m 个事件，2 个监狱。每个事件有三个数 ai , bi , ci，表示若 ai , bi 号犯人关在一起，则会产生 ci 的影响 力。 现 在你需要合理分配罪犯到两个监狱，使得所有发生的事件 中最大的 ci 尽可能小。
范围： n ≤ 1e4 , m ≤ 1e5
思路：贪心+并查集
- 把事件按照影响力排序，然后从大到小依次处理。
- 每次需要判断两个罪犯能否在不和之前事件冲突的情况下被分配到不同监狱。
- 可以用拆点的方法，把每个罪犯拆成两个点，然后合并 ai, b′i 以及 a′ i, bi直到产生冲突为止。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define N 100010 //1.开小(开成n的取值) 4 using namespace std; 5 int n,m,x,y,fa[N]; 6 struct node 7 { 8 int a,b,c; 9 }e[N]; 10 bool cmp(node x,node y) 11 { 12 return x.c>y.c; 13 } 14 int find(int k) 15 { 16 if(k==fa[k]) return k; 17 return fa[k]=find(fa[k]); 18 } 19 int main() 20 { 21 scanf("%d%d",&n,&m); 22 for(int i=1;i<=m;i++) 23 scanf("%d%d%d",&e[i].a,&e[i].b,&e[i].c); 24 sort(e+1,e+1+m,cmp); 25 for(int i=1;i<=n*2;i++) fa[i]=i; // 后面拆点（1->2） 26 for(int i=1;i<=m;i++) 27 { 28 x=find(e[i].a); 29 y=find(e[i].b); 30 if(x==y){ 31 printf("%d",e[i].c); 32 return 0; 33 } 34 fa[x]=find(e[i].b+n); //2.不用find会超时 (空?MLE) 35 fa[y]=find(e[i].a+n); //拆点 36 } 37 printf("0"); 38 return 0; 39 }（三） 种类并查集
题意 ：给定 n 个条件形如 a 与 b 是朋友或者 a 与 b 是敌人。满足 我朋友的朋友是我的朋友，我敌人的敌人是我的朋友。所有 朋友 组成一个团伙，问一共有多少团伙。
范围 ：n ≤ 1e5
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 const int N=1000*2+10;
4 using namespace std;
5 //FILE *fin=fopen("gangs.in","r"); 加文件RE
6 //FILE *fout=fopen("gangs.out","w");
7 char a;
8 int n,m,fa[N],vis[N],ans;
9 int getfather(int x){
10 if(fa[x]==x) return x;
11 return fa[x]=getfather(fa[x]);
12 }
13 void merge(int x,int y){
14 x=getfather(x);
15 y=getfather(y);
16 fa[x]=y;
17 }
18 int main()
19 {
20 scanf("%d%d",&n,&m);
21 for(int i=1;i<=n*2;i++) fa[i]=i;//fa[i]朋友，fa[i+n]敌人
22 while(m--){
23 cin>>a;
24 int x,y;
25 if(a=='F'){
26 scanf("%d%d",&x,&y);
27 merge(x,y);//注意：不需要 merge(x+n,y+n); 朋友的敌人 与 朋友的敌人 不是朋友!!!
28 }
29 else {
30 scanf("%d%d",&x,&y);
31 merge(x+n,y),merge(x,y+n);
32 }
33 }
34 for(int i=1;i<=n;i++){
35 int x=getfather(i);
36 if(!vis[x]){
37 ans++;
38 vis[x]=1;
39 }
40 }
41 printf("%d",ans);
42 return 0;
43 }
(2) P2024 [NOI2001]食物链
题意 :有三类动物 A, B, C，这三类动物的食物链构成环。
A 吃 B，B 吃 C，C 吃 A。现有 n 个动物，以 1 ∼ n 编号。每个动物都 是 A,B,C 的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。 现在有 k 个条件，每个条件形如： 1 x 吃 y 2 x 和 y 是同类 现在让你依次判断 k 个条件的真假，一个条件是真的，当且 仅当其 不与题设条件以及之前的真条件冲突，你需要输出假 条件的总数。
范围 : n ≤ 5 ∗ 1e4 , m ≤ 1e5
思路：与上题类似，把 x 拆为三个点 x1, x2, x3，若 x 与 y 是同类， 那么 x1, y1， x2, y2， x3, y3 是同类。假设 x 吃 y，那么 x2, y1， x3, y2， x1, y3 是同类。只需要判断是否出现矛盾即可。
1 #include<cstdio>
2 using namespace std;
3 int n,k,fa[300010],x,y,z,ans;
4 int find(int a)
5 {
6 if(fa[a]==a) return a;
7 return fa[a]=find(fa[a]);
8 }
9 //查
10 void get(int a,int b)
11 {
12 int v=find(a),u=find(b);
13 fa[v]=u;
14 }
15 //并
16 int main()
17 {
18 scanf("%d%d",&n,&k);
19 for(int i=1;i<=n*3;i++) fa[i]=i;//初始化
20
21 ans=0;
22 for(int i=1;i<=k;i++)
23 {
24 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
25 if(y>n||z>n){ans++; continue;}//特判一 当前的话中 y 或 z 比 N 大，就是假话
26 if(x==1)//判断同类
27 {
28 if(find(y+n)==find(z)||find(y+2*n)==find(z))//z是否为y的天敌或猎物
29 {ans++; continue;}
30 get(y,z),get(y+n,z+n),get(y+2*n,z+2*n);//建立y与z同类、y的天敌是z的天敌、y的猎物是z的猎物的3种关系
31 }
32 else if(x==2)//判断y是z的天敌
33 {
34 if(y==z){ans++; continue;}//特判二 当前的话表示自己吃自己，就是假话
35 if(find(y)==find(z)||find(y+n)==find(z))//z是否是 y同类 或 天敌
36 {ans++; continue;}
37 get(y+n*2,z),get(y+n,z+2*n),get(y,z+n);//建立y的猎物是z、y的天敌是z的猎物（环形）、z的猎物的天敌是y 的3种关系
38 }
39 }
40 printf("%d",ans);
41 return 0;
42 }
（四）SP5150 JMFILTER - Junk-Mail Filter
题意 ：n 次操作，支持：
• 合并 a, b。
• 将 a 从当前集合删去，放入一个新的集合。
求最后集合的个数。
范围 ：n ≤ 1e5
思路：删除 a 只需要新建一个节点来代表 a 即可，原来的节点同样 存在于并查集中，但是不代表 a。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
const int N=1e7;
using namespace std;
int rep[N],fa[N],vis[N],cnt,ans,T,n,m;
int getfather(int x){
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=getfather(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
x=getfather(x);
y=getfather(y);
fa[x]=y;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
while(n!=0||m!=0){
//printf("111");
T++;
ans=0;
cnt=n;
for(int i=0;i<n;i++) rep[i]=i;
for(int i=0;i<n+m;i++) fa[i]=i;
while(m--){
char a;
int x,y;
cin>>a;//这里用cin啊啊啊!!!读入字符用cin!!
if(a=='M'){
scanf("%d%d",&x,&y);
merge(rep[x],rep[y]);
}
else{
scanf("%d",&x);
rep[x]=cnt++;
}
//printf("%d%d%d\n",m,m,m);
}
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0;i<n;i++){
int x=getfather(rep[i]);
if(!vis[x]){
ans++;
vis[x]=1;
}
}
printf("Case #%d: %d\n",T,ans);
scanf("%d%d",&n,&m);
}
return 0;
}