树链剖分
概述：通过将一棵树上的点分为轻重链，来降低复杂度，此时lca查询复杂度为\(O(logn)\)，支持在线。
前置
重儿子：一个有根树的一个点 子树最大的儿子
轻儿子：其它的儿子
重链：由重儿子连接成的链
轻链：其它的所有链
下图是一棵剖好的树
图片来自于[知识点]树链剖分
树剖
树剖本体其实只有两个dfs
第一个dfs处理每个子树的大小，重儿子一类的信息
第二个dfs处理剖出的链的信息
void dfs1(int x) {
int mx = -1;
for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].v;
if(v == fa[x]) continue;
dep[v] = dep[x] + 1;//处理深度
fa[v] = x;//父节点
siz[x]++;//大小
dfs1(v);
siz[x] += siz[v];//回溯
if(siz[v] > mx) {//保留重儿子
mx = siz[v];
son[x] = v;
}
}
}
void dfs2(int x, int tp) {
top[x] = tp;//链顶
if(son[x] != 0) {
dfs2(son[x], tp);//优先搜索重儿子，让重儿子先成链
}
for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].v;
if(v == son[x] || v == fa[x]) continue;
dfs2(v, v);//处理其它节点
}
}
树剖求lca
我们手上现在有剖好的链
我们一次上跳就可以跳一条链的长度，所以时间复杂度大大降低
int getlca(int x, int y) {
int f1 = top[x];//链顶
int f2 = top[y];
while(f1 != f2) {
if(dep[f1] > dep[f2]) {//始终让x在上方
swap(f1, f2);
swap(x, y);
}
y = fa[f2];//将y向上跳f2的父节点即是别的链的一部分
f2 = top[y];//更新链顶
}
if(dep[x] < dep[y]) {//当两个链顶在一起时，说明两个点在一条链上
return x;//此时返回深度较浅的点
}
else return y;
}
树剖维护链上信息
描述
已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和
dfs序
既然想要处理链上信息
我们就想要处理的信息连续
dfs序帮我们解决了这个问题
按dfs遍历到的顺序保存下节点即可
void dfs2(int x, int tp) {
top[x] = tp;
dfn[x] = ++tot;//保存dfs序
wt[tot] = val[x];//保存节点值
if(son[x]) {
dfs2(son[x], tp);
}
for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].v;
if(v == fa[x] || v == son[x]) continue;
dfs2(v, v);
}
}
接下来就可以带入数据结构解决问题
考虑线段树
update及query为普通线段树的处理
1（x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z）
void update_lst(int x, int y, int z) {
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) {
swap(x, y);
}
update(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x], z);//不断对较低的点所在的链处理，
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
update(1, 1, n, dfn[x], dfn[y], z);//当两点在一条链上时
}
2（求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和）
和update_lst()差不多
int query_lst(int x, int y) {
int ret = 0;
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) {
swap(x, y);
}
ret = (ret + query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x])) % p;
x = fa[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
ret = (ret + query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y])) % p;
return ret;
}
3（将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z）
因为dfs序的处理现在每条链的下标都是连续的，长度就是siz[x]
void update_tre(int x, int z) {
update(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x], z);
}
4（求以x为根节点的子树内所有节点值之和）
int query_tre(int x) {
return query(1, 1, n, dfn[x], dfn[x] + siz[x]);
}