什么是证明
Definition(证明的定义)
A mathmatical proof of a proposition is a chain of logical deduetions leading to the proposition from a base of axioms.
译：命题的数学证明是从公理得出命题的一系列的逻辑推论。
命题的定义
命题是真假客观存在的陈述句。
- 可以客观准确给出真假的语句才是命题。
比如：“有外星人”，“给我这本书”，“php是世界上最好的语言”都不是命题。 - 真假性随时间环境变化的语句也不是命题。
比如：“现在是五点钟”，“明天股票会涨”，“今天天气不错”都不是命题。
###历史上著名的命题
- 欧拉猜想(Euler's Conjecture) ： 若a,b,c,d都是正整数，等式
\[a^4+b^4+c^4=d^4\]无解。 - 四色定理(Four Color Theorem) ：用四种颜色给地图着色，可以使每张地图相邻区域的颜色各不相同。
- 费马大定理(Fermat's Last Theorem)： 当整数n>2时，\(x^n+y^n=z^n\)没有正整数解。
- 哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture) ：任意大于2的偶数都是两个质数的和。
谓词语句
definition:真假性取决于一个或多个变量的语句。如：“n是一个完全平方数”就是谓词语句，只有知道n的值，才能确定它的真假。
谓词语句通常用”定义“符号: " : = "
p(n) : = "n是一个完全平方数"。当n=4时，即p(4)命题为真；p(5)命题为假。- 谓词语句不是命题，因为它的真假性无法判断。
要想让谓词语句变成一个命题，有两种方法：
- n 取值，如上述的p(4),p(5)就是命题。
- 量词 (∀,∃)，如“ ∃n,使得n是一个完全平方数 ”就是命题。
常见的证明方法
证明的原则：
- 在考虑证明的逻辑步骤时，你的草稿可以比骄混乱，但是最终的证明应当是清晰的，简明的。
- 证明通常以“证明”一词开始，以某种分隔符如■或“QED”结束。这些约定只是为了明确证明从哪里开始，哪里结束。
1.直接证明法
从条件(前介)直接推出结果(后介)
例：如果\(0\leq x \leq 2\)，则\(-x^3+4x+1>0\)
证明. 假设\(0\leq x \leq 2\)。那么x，2-x，2+x都是非负的。因此有：\[-x^3+4x+1=x(2-x)(2+x)+1>0\]原命题得证。 ■
2. 证明逆反命题
一个命题的真假性和它的逆否命题一致，若要证明命题为真，只需证明它的逆否命题为真即可。
- 例： 证明如果 r 是无理数，\(\sqrt{r}\) 也是无理数
证明. 我们使用逆否命题来证明，即 \(\sqrt{r}\) 是有理数，r 也是有理数 。
设 \(\sqrt{r}=\frac{n}{m}\) (其中 n，m 均为整数), 则 \(\sqrt{r}=\frac{n^2}{m^2}\). 显而易见，r 必是有理数，逆否命题得证，原命题得证。 ■
3. 证明当且仅当问题
“当且仅当”叙述时通常简写为“IFF”。语句“p IFF q ”等价于“P IMPLIES Q”以及“Q IMPLIES P”。因此，要证明IFF，我们需要证明两个蕴含。(即证明充分性和必要性)
4. 反证法
反证法，又称间接证明法。它首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
例：证明\(\sqrt{2}\)是无理数
证明. 我们使用反证法证明，即设 \(\sqrt{3}\) 是有理数，那么我们可以将 \(\sqrt{3}\) 写成最简分式 \(\frac{n}{m}\)。
两边同时平方，得 \(3=\frac{n^2}{m^2}\) ,有：\(3m^2 = n^2\)。
易知n是3的倍数，所以 n^2是9的倍数 。又因为 \(n^2=3m^2\) , 故 \(3m^2\) 也是 9 的倍数，即 \(m^2\) 为 3 的倍数，由证明可得 m 也为 3 的倍数。
n,m 同时为 3 的倍数，故\(\frac{n}{m}\)不可能为最简分式，与条件相矛盾 ，故 √ 3 是无理数。
原命题得证。 ■
5. 分情况讨论
将复杂的证明分解成案例，然后分别证明每一个案例，这是一种常见的，很有用的证明策略。
例：证明任意 6 个人中，总是 3 个人互相认识或互相不认识
证明. 设x是六个人中的一个。我们分情况讨论：
情况1. 剩下的5个人中至少3个和x认识
情况1.1：这些人相互都不认识对方。那么，这些人就是至少3个的陌生人组，定理成立。
情况1.2：这些人中有的见过对方。那么，这两个人和x就构成了3个认识人组，定理成立。
情况2. 剩下的5个人中至少3个和x不认识
情况2.1：这些人相互都认识对方。那么，这些人就是至少3个的认识人组，定理成立。
情况2.2：这些人中有的不认识对方。那么，这两个和x就构成了3个陌生人组，定理成立。
原命题得证。 ■
一些习题
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