呃，这个常用但是我一直不会
Tarjan
Tarjan 算法基于 dfs ，在 dfs 的过程中，对于每个节点位置的询问做出相应的回答。
dfs 的过程中，当一棵子树被搜索完成之后，就把他和他的父亲合并成同一集合；在搜索当前子树节点的询问时，如果该询问的另一个节点已经被访问过，那么该编号的询问是被标记了的，于是直接输出当前状态下，另一个节点所在的并查集的祖先；如果另一个节点还没有被访问过，那么就做下标记，继续 dfs 。
//tarjian,边建边 边回答问题
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,rt;
const int N=500003,M=500003;
int ans[M];
vector <int> e[N];
struct node
{
int v,id;
node(int vv,int ii)
{ v=vv,id=ii; }
node(){}
};
vector <node> q[N];
int fa[N];
int find(int x)
{ return fa[x]==0?x:fa[x]=find(fa[x]); }
bool vis[N];
void dfs(int x,int f)
{
int sz=e[x].size();
for(int i=0;i<sz;i++)
{
int v=e[x][i];
if(v!=f) dfs(v,x),fa[v]=x;
}
vis[x]=true;
sz=q[x].size();
for(int i=0;i<sz;i++)
{
int v=q[x][i].v ;
if(!ans[q[x][i].id ] && vis[v])
ans[q[x][i].id ]=find(v);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&rt);
int u,v;
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
for(int i=0;i<m;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),q[u].push_back(node(v,i)),q[v].push_back(node(u,i));
dfs(rt,0);
for(int i=0;i<m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}
倍增
就从父亲更新到儿子
//tarjian,边建边 边回答问题
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,rt;
const int N=500003,M=500003;
int ans[M];
vector <int> e[N];
int lg[N];
inline int read()
{
int x=0;char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
while(c>='0' && c<='9') x=(x<<1)+(x<<3) +c-'0',c=getchar();
return x;
}
int dep[N];
int fa[N][19];//2的0-18次方,,,全跳最高能到2^19
void dfs(int x,int f)
{
fa[x][0]=f;
dep[x]=dep[f]+1;
for(int i=1;i<19;i++)
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
int sz=e[x].size();
for(int i=0;i<sz;i++)
{
int v=e[x][i];
if(v!=f) dfs(v,x);
}
}
void get_log()
{
for(int i=1;i<=n;i++) //预先算出log_2(i)+1的值，用的时候直接调用就可以了
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i); //看不懂的可以手推一下
}//还挺快
int LCA(int u,int v)
{
if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
int dis=dep[u]-dep[v];
for(int i=0;dis;i++)
if(dis & (1<<i))
{
dis^=(1<<i);
u=fa[u][i];
}
if(u==v) return u;
for(int i=lg[dep[u]]-1;i>=0;i--)
if(fa[u][i]!=fa[v][i])
u=fa[u][i],v=fa[v][i];
return fa[u][0];
}
int main()
{
n=read(),m=read(),rt=read();
int u,v;
for(int i=1;i<n;i++)
u=read(),v=read(),e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
dfs(rt,0);
get_log();
for(int i=0;i<m;i++)
{
u=read(),v=read();
printf("%d\n",LCA(u,v));
}
return 0;
}