Lucas定理用于求C(n,m)%p，（p为质数），而拓展Lucas定理中，p不一定为质数。
Lucas定理有两种形式，在线算法和离线打表，在线算法适用于p经常改变 或 查询次数较少 的情况，其他情况下用离线打表。
首先是一个在线算法。
1 ll pow(ll a, ll b, ll m)
2 {
3 ll ans = 1;
4 a %= m;
5 while(b)
6 {
7 if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
8 b /= 2;
9 a = (a % m) * (a % m) % m;
10 }
11 ans %= m;
12 return ans;
13 }
14 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
15 {
16 return pow(x, p - 2, p);
17 }
18 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
19 {
20 if(m > n)return 0;
21 ll up = 1, down = 1;//分子分母;
22 for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
23 for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
24 return up * inv(down, p) % p;
25 }
26 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
27 {
28 if(m == 0)return 1;
29 return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
30 }
然后放一个离线打表的。
1 const int maxn = 1e5 + 10;
2 ll fac[maxn];//阶乘打表
3 void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
4 {
5 fac[0] = 1;
6 for(int i = 1; i <= p; i++)
7 fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
8 }
9 ll pow(ll a, ll b, ll m)
10 {
11 ll ans = 1;
12 a %= m;
13 while(b)
14 {
15 if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
16 b /= 2;
17 a = (a % m) * (a % m) % m;
18 }
19 ans %= m;
20 return ans;
21 }
22 ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
23 {
24 return pow(x, p - 2, p);
25 }
26 ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
27 {
28 if(m > n)return 0;
29 return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
30 }
31 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
32 {
33 if(m == 0)return 1;
34 return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
35 }
但是除了这个我还有一个板子，感觉上应该更快，也没发现什么错的，也放上来吧。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #include<stdint.h>
3 using namespace std;
4 #define int long long
5 #define scan(n) scanf("%lld", &(n))
6 #define scann(n, m) scanf("%lld%lld", &(n), &(m))
7 #define scannn(a, b, c) scanf("%lld%lld%lld", &(a), &(b), &(c))
8 #define prin(n) printf("%lld", (n))
9 #define pb push_back
10 #define mp make_pair
11 #define ms(a) memset(a, 0, sizeof(a))
12 #define fo(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
13 #define ro(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
14 #define dbg(args...) do {cout << #args << " : "<< args << endl;}
15 const int inf = 0x3f3f3f3f;
16 const int maxn = 1e5+100;
17 const int mod=1e9+7;
18 int f[maxn],inv[maxn];
19 int qpow(int a,int b){
20 int res=1;
21 while(b){
22 if(b&1)res=res*a%mod;
23 a=a*a%mod;;
24 b>>=1;
25 }
26 return res;
27 }
28 void init(){
29 f[0]=1;
30 for(int i=1;i<=maxn-1;i++)f[i]=f[i-1]*i%mod;
31 inv[maxn-1]=qpow(f[maxn-1],mod-2);
32 for(int i=maxn-2;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
33 }
34 int C(int n,int m){
35 return f[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
36 }
37 int32_t main() {
38 int f,w,h;
39 cin>>f>>w>>h;
40 int fm=0,fz=0;
41 init();
42 for(int i=1;i<=w;i++){
43 fm+=(C(w-1,i-1)*C(f+1,i))%mod;
44 fm%=mod;
45 }
46 for(int i=1;i<=w/(h+1);i++){
47 fz=fz+C(w-i*h-1,i-1)*C(f+1,i)%mod;
48 fz%=mod;
49 }
50 int ans=fz*qpow(fm,mod-2)%mod;
51 cout<<ans<<endl;
52 return 0;
53 }
拓展Lucas定理，只有在线算法。
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 const int maxn = 1e6 + 10;
5 const int mod = 1e9 + 7;
6 ll pow(ll a, ll b, ll m)
7 {
8 ll ans = 1;
9 a %= m;
10 while(b)
11 {
12 if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
13 b /= 2;
14 a = (a % m) * (a % m) % m;
15 }
16 ans %= m;
17 return ans;
18 }
19 ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
20 //求解ax+by=gcd(a, b)
21 //返回值为gcd(a, b)
22 {
23 ll d = a;
24 if(b)
25 {
26 d = extgcd(b, a % b, y, x);
27 y -= (a / b) * x;
28 }
29 else x = 1, y = 0;
30 return d;
31 }
32 ll mod_inverse(ll a, ll m)
33 //求解a关于模上m的逆元
34 //返回-1表示逆元不存在
35 {
36 ll x, y;
37 ll d = extgcd(a, m, x, y);
38 return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
39 }
40
41 ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值 pk为pi的ki次方
42 //算出的答案不包括pi的幂的那一部分
43 {
44 if(!n)return 1;
45 ll ans = 1;
46 if(n / pk)
47 {
48 for(ll i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
49 if(i % pi)ans = ans * i % pk;
50 ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
51 }
52 for(ll i = 2; i <= n % pk; i++)
53 if(i % pi)ans = ans * i % pk;
54 return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
55 }
56
57 ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
58 {
59 if(m > n)return 0;
60 ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
61 ll k = 0, ans;//k为pi的幂值
62 for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
63 for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
64 for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
65 ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
66 ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
67 return ans;
68 }
69
70 ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
71 {
72 ll x = p;
73 ll ans = 0;
74 for(ll i = 2; i <= p; i++)
75 {
76 if(x % i == 0)
77 {
78 ll pk = 1;
79 while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;
80 ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
81 }
82 }
83 return ans;
84 }
85
86 int main()
87 {
88 ll n, m, p;
89 while(cin >> n >> m >> p)
90 {
91 cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
92 }
93 return 0;
94 }