动态规划经典——石子归并

1.链式归并

 

问题描述

设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。

【输入格式】

    输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。 

【输出格式】

    一个整数，归并的最小代价。

【输入样例】

输入文件名：shizi.in

7
13
7
8
16
21
4
18

【输出样例】

输出文件名：shizi.out

239

令f[i,j]表示归并第i个数到第j数的最小代价,sum[i,j]表示第i个数到第j个数的和，这个可以事先计算出来。sum[i,j]可以在O(1)的时间内算出.
容易的到以下的动态转移方程：

阶段：以归并石子的长度为阶段，一共有n-1个阶段。
状态：每个阶段有多少堆石子要归并，当归并长度为2时，有n-1个状态；
当归并长度为3时，有n-2个状态；
当归并长度为n时，有1个状态。
决策：当归并长度为2时，有1个决策；当归并长度为3时，有2个决策；
当归并长度为n时，有n-1个决策。

 

#include <iostream> using namespace std; #define M 101 #define INF 1000000000 int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M]; int main() { int i,j,k,t; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&stone[i]); for(i=1;i<=n;i++) { f[i][i]=0; sum[i][i]=stone[i]; for(j=i+1;j<=n;j++) sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j]; } for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度 { for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点 { j=i+len-1; f[i][j]=INF; for(k=i;k<=j-1;k++) { if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]) f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]; } } } printf("%d/n",f[1][n]); return 0; }

 

 

[算法优化]

 见 http://it.dgzx.net/drkt/oszt/zltk/yxlw/dongtai3.htm

 

优化后，无非加了一个s[i,j] 记录i...j之间f[i,j]为最优状态的分割点

#include <iostream> using namespace std; #define M 101 #define INF 1000000000 int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M],s[M][M]; int main() { int i,j,k,t; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&stone[i]); for(i=1;i<=n;i++) { f[i][i]=0; s[i][i]=i; sum[i][i]=stone[i]; for(j=i+1;j<=n;j++) sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j]; } for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度 { for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点 { j=i+len-1; f[i][j]=INF; for(k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++) { if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]) { f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]; s[i][j]=k; } } } } printf("%d/n",f[1][n]); return 0; }

 

2.

环型石子合并

问题描述
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

输入文件
输入文件stone.in包含两行，第1行是正整数n(1≤n≤100)，表示有n堆石子。第2行有n个整数，分别表示每堆石子的个数。

输出文件
输出文件stone.out 包含两行，第1行中的数是最小得分；第2行中的数是最大得分。

输入样例
4
4 4 5 9

输出样例
43
54

 

#include<cstdio> using namespace std; typedef int Arr[210][210]; int N; Arr M1,M2,S1,S2; int main() { scanf("%d",&N); for(int i=1;i<=N;++i) { int a; scanf("%d",&a); M1[i][i]=M2[i][i]=M1[i+N][i+N]=M2[i+N][i+N]=a; S1[i][i]=S2[i][i]=S1[i+N][i+N]=S2[i+N][i+N]=0; } for(int k=2;k<=N;++k) { for(int i=1;i<=2*N-k+1;++i) { int j=i+k-1; M1[i][j]=S1[i][j]=0xFFFFFFF; M2[i][j]=S2[i][j]=0; for(int t=j-1;t>=i;--t) { if(M1[i][j]>M1[i][t]+M1[t+1][j]) { M1[i][j]=M1[i][t]+M1[t+1][j]; if(S1[i][j]>M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j]) S1[i][j]=M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j]; } else if(M1[i][j]==M1[i][t]+M1[t+1][j]) { if(S1[i][j]>M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j]) S1[i][j]=M1[i][j]+S1[i][t]+S1[t+1][j]; } if(M2[i][j]<=M2[i][t]+M2[t+1][j]) { M2[i][j]=M2[i][t]+M2[t+1][j]; if(S2[i][j]<M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j]) S2[i][j]=M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j]; } else if(M2[i][j]==M2[i][t]+M2[t+1][j]) { if(S2[i][j]<M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j]) S2[i][j]=M2[i][j]+S2[i][t]+S2[t+1][j]; } } } } int ans=0xFFFFFFF; for(int i=1;i<=N;++i) if(S1[i][i+N-1]<ans) ans=S1[i][i+N-1]; printf("%d/n",ans); ans=0; for(int i=1;i<=N;++i) if(S2[i][i+N-1]>ans) ans=S2[i][i+N-1]; printf("%d/n",ans); return 0; }

来源：CSDN

作者：Rachel-Zhang

链接：https://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/5805330