目录
1. 矩阵的相似
- 矩阵的相似
(iv)的证明：
- 矩阵的特征值和特征向量
2. 特征值与特征向量的求法
由此可见矩阵的k重特征值不一定有k个线性无关的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质
用数学归纳法证明：
上节课的例题：
- 推论
- 例题
- 特征值求法公式
- 特征值与矩阵的关系
矩阵A的特征值之和=trace(A) 即矩阵A的迹。
- 练习
4. 一般矩阵的相似对角形
- 矩阵与对角阵相似的条件
推论：若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似，反之不对。
n阶矩阵能够与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；若矩阵A有重特征值，不能马上断言，这时要看特征向量，实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可。
- 练习
- 矩阵相似对角化的方法
- 矩阵相似对角化的步骤
- 练习
5. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质
- 性质1
实对称矩阵的特征值都是实数。
证明一个数是实数，就是证明该数的共轭与该数相等。
- 性质2
实对阵矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
- 性质3
实对阵矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个。
也就是说实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
注意一般矩阵的k重特征值所对应的线性无关的特征向量不一定有k个，不一定与对角阵相似。
6. 实对称矩阵的相似对角化
- 例题
- 用正交阵将实对称矩阵A对角化的步骤
- 练习
来源：https://blog.csdn.net/sdu_hao/article/details/102767824