直线的斜率

题目描述： 有 N 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。 机器会把这 N 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。 从时刻0开始，任务被分批加工，执行第 i 个任务所需的时间是 Ti。 另外，在每批任务开始前，机器需要 S 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 S 加上每个任务所需时间之和。 一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕。 也就是说，同一批任务将在同一时刻完成。 每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 Ci。 请为机器规划一个分组方案，使得总费用最小。 输入格式 第一行包含整数 N。 第二行包含整数 S。 接下来N行每行有一对整数，分别为 Ti 和 Ci，表示第 i 个任务单独完成所需的时间 Ti 及其费用系数 Ci。 输出格式 输出一个整数，表示最小总费用。 数据范围 1≤N≤3∗10^5, 1≤Ti,Ci≤512, 0≤S≤512 输入样例： 5 1 1 3 3 2 4 3 2 3 1 4 输出样例： 153 分析： 在 AcWing 300 任务安排1 中，我们使用了费用提前计算的技巧，实现了本题平方级别的算法，对于本题增加的数据范围，显然平方级别的算法不足以解决问题，我们在上一题中推导出了本题的状态转移方程f[i] = min(f[j] + (sc[i] - sc[j])*st[i] + (sc

【导数】是用来分析变化的。 导数有什么用？ 导数是用来分析变化的。 以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。 曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。 综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。 导数是什么 用下面的图来说明导数是什么 某一点的斜率和瞬间斜率 课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。 前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。 ​ 过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。 ​ 以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。 ​

【导数】是用来分析变化的。 导数有什么用？ 导数是用来分析变化的。 以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。 曲线上的一点如何向另一点变化，就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对一次函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。 综上所述，导数是用来分析“变化”的工具。 导数是什么 用下面的图来说明导数是什么 某一点的斜率和瞬间斜率 课本上讲了函数的瞬时变化率，但是对于同学们来说，这个讲法太不好理解。我们还是用，解析几何里面经常讲的斜率来说比较好。 前面说了，导数的目的是分析变化。突然提出“变化”，你可能无法理解，我们以过山车为例来说明一下。 ​ 过山车的车道多为曲线，因此我们可以认为乘坐者是在过山车的轨道曲线上移动。过山车向下俯冲、水平前行、向上攀升，在不同的地点，乘坐者的身体会产生拉、拽或失重等不同感受。这种状况出现的重要原因之一，就是身体的方向和速度发生了变化。过山车的轨道为曲线，乘客在轨道上任意一点的方向和趋势都不相同。 ​ 以数学思维来思考该话题的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的点就是飞驰在轨道上的过山车。试着描绘一下过山车在曲线各点上的运动趋势，会发现它们都朝着各自不同的方向前进。只是不知道图形上点的移动速度而已。 ​

题意： 描述 Lrc是校队里面的总所周知的全才王，他不仅是一个excelent acmer，也不仅是一个chess master，更是一个crazy game player。 切水果，正是他最喜欢玩的手机游戏之一。为了避免有人没玩过，下面介绍一下Lrc是怎么玩这个游戏的~-~ 1) 整个屏幕是一个笛卡尔坐标系。 2) 在某个时刻，屏幕上会出现灰常多的水果，西瓜、草莓神马的，当然还有一种，炸弹。 3) 每个时刻用手指在屏幕上划过，切中水果可以得到一定得分数，切到炸弹就要扣分。 4) 每个时刻最多只能切一刀，至于一刀切多少个可以自由控制。 5) 第t时刻没有被切的水果，将不会出现在下一个时刻。 6) 由于Lrc 骨骼奇精，所以手指在屏幕上只能划直线(线段)，也就是说只有在同一直线上的水果他才能在同一时间内切到。(友情提醒，直线不仅是斜的，也可以是水平和垂直的哦)。 由于Lrc比较神，每次他总能得到最高分。嘿嘿，你想要成为未来的Acmer吗？那就必须帮Lrc算出他的分数咯O(∩_∩)O~ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PS：记住

前言 大约一年前，我在机房学“斜率优化” 一年后的今天，我在机房学“斜率优化” ... ... 题目 Consider a simple sequence which only contains positive integers as a1, a2 ... an, and a number k. Define ave(i,j) as the average value of the sub sequence ai ... aj, i<=j. Let’s calculate max(ave(i,j)), 1<=i<=j-k+1<=n. Input There multiple test cases in the input, each test case contains two lines. The first line has two integers, N and k (k<=N<=10^5). The second line has N integers, a1, a2 ... an. All numbers are ranged in [1, 2000]. Output For every test case, output one single line contains a real number, which is mentioned in the

Jarque-Bera test: 如何绘制 pp 图 ? 找该直线的截距和斜率，通过截距和斜率的值找到正态参数均值和方差，可对这些正态参数进行正态检验。 K-S 检验的的特点？ 并不是只针对正态分布，是针对某一分布。在大样本时针对正态分布。 来源： https://www.cnblogs.com/yuanjingnan/p/11779152.html

最近做了几道简单的斜率优化题，发现其实对于式子画出来的半凸包是有规律的，来分享一下。（这里只针对横坐标单调递增且查询的斜率恒正或者恒负的情况） 1，照常用朴素的式子（一般O(n^2)）推到一边只含j（就是y），另外一边含kx+b的形式，然后不要用不等式来强推（这样不会错，但是很烦）。 2，假如题目求最小值，就是一条直线从下往上扫描，同时对应的是下凸包（这里的下是指大致为y=1/x当x>0时的图像或者是y=-1/x当x<0时的图像）；同理，最大值为上凸包（这里的上是指大致为y=1/x当x<0时的图像或者是y=-1/x当x>0时的图像）。 3，假如查询的斜率是正数，就是大概y=-1/x的图像（只取一支，视乎满足2中的哪个条件），假如是负数，则相反，是y=1/x的图像。 这样大概就可以把图像画出来了，然后就可以很简单地数形结合来做题了。 当然这里只是对于最简单的那种情况，假如别的不单调，要用二分斜率或者是平衡树的方法来维护DP。 来源： https://www.cnblogs.com/Ronald-MOK1426/p/11776430.html

考虑如下$dp$： $dp(i)=max/min(A(i)+B(j)+C(i)D(j))$ $(j < i)$ 其中，A(i),C(i)只与i有关，B(j),D(j)只与j有关。 括号里有与i,j同时有关的项,导致单调队列优化失效，但是如果这样的项只有一个可以采用斜率优化。方法如下： 将此dp方程转化为$dp(i)-A(i)=max/min(B(j)-C(i)(-D(j)) )$的形式。 设b=dp(i)-A(i)，y=B(j)，k=C(i)，x=-D(j) 即$b=y-kx$，这时，只要使b最小/最大，就能使结果最小/最大。 移项，得$y=kx+b$，转化为直线的形式。每计算完一个j就可以计算出对应的x,y. 其实就是把要最优的值设为b，只和j相关的项设为y，同时相关的设为kx。 还有类似$b=ay-kx$的形式（两项相关），只要转为$b/a=y-(k/a)*x$即可。 以最大为例（最小类似），现在就是要在所有的（x,y）中找出一对使得b最大。 把（x,y）表示为坐标系中点的形式，就是找一个点使得斜率为k的直线经过这个点时与y轴的交点的y坐标尽量大。 可以发现把斜率为k的直线放在无限高处，再向下平移，接触到的第一个点就是结果。 如图： 因为要求最大值，所以只有上凸包上的点有可能成为最大值，其他点可以删除。 这时，红色箭头即为b，绿色箭头即为最优的（x，y）。dp(i)就是b+A

斜率，亦称"角系数"，表示一条直线相对于横轴的 倾斜 程度。一条直线与某 平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的 正切值 即该直线相对于该坐标系的斜率。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b( 斜截式 )，k即该 函数图像 (直线)的斜率。 定义 由一条直线与右边X轴所成的角的 正切 。 k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)或(y1-y2)/(x1-x2) 直线斜率相关 当直线L的斜率不存在时， 斜截式 y=kx+b 当k=0时 y=b 当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(X2-X1)， 当直线L在两坐标轴上存在非零 截距 时，有截距式X/a+y/b=1 对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα 斜率计算:ax+by+c=0中，k=-a/b. 直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1:k1*k2=-1. 当k>0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大;当k<0时，直线与x轴夹角越大，斜率越小。 在物理中，斜率也有很重要的意义， 第一个，从课标的这个角度，我们可以知道在义务教育阶段，学习了一次函数，它的几何意义表示为一条直线，一次项的系数就是直线的斜率，只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示。虽然没有明确给出斜率这个名词

太久没碰过这个玩意了，于是它就变成学习笔记了。 题目特点 一般来说，斜率优化的dp会比其它的dp得到转移方程要简单一点点。 通式大概是： \[ f[i] = a(i)b(j) + c(i) + d(j) \] 也就是说，这种dp和单调队列不同的一点是有同时和 \(i,j\) 有关的项，这时候就需要用到斜率优化。 拿道题目来讲可能效果更好一些。 P3195 [HNOI2008]玩具装箱 设前缀和为 \(s(i)\) ，那么很快得到dp方程： \[ f[i] = \min_{j < i}\{f[j] + (s(i) + i - s(j) - j - L - 1) \} \] 设 \(a(i) = s(i) + i, b(i) = a(i) + L + 1\) 。 于是 \[ \begin{aligned}f[i] &= f[j] + (a(i) - b(j))^2 \\&= f[j] + a(i)^2 - 2a(i)b(j) + b(j)^2\end{aligned} \] 移项可得 \[ 2 a(i)b(j) + f[i] - a(i)^2 = f[j] + b(j)^2 \] 令 \(b(j) = x, f[j]+b(j)^2 = y\) ，那么这个方程就可以看成一条平面直角坐标系上的一条直线。 此时 \(f[i]\) 的含义变为，当这条直线经过点 \(P(x, y)\) 时，与