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本文主要参考于《离散数学及其应用》（傅彦 著）中的图论篇 图 图的基本概念 图的定义 一个 图（graph） 是一个序偶 < V , E > <V, E> < V , E > ，记为 G = < V , E > G = <V, E> G = < V , E > ，其中： （1） V = v 1 , v 2 , . . . , v n V = { v_1, v_2, ..., v_n} V = v 1 ​ , v 2 ​ , . . . , v n ​ 是有限非空集合， v i v_i v i ​ 称为 节点（nodal point） ，简称 点（point） ， V V V 称为 节点集（nodal set） . （2） E E E 是有限集合，称为 边集（frontier set） ， E E E 中的每个元素都有 V V V 中的节点对与之对应，称之为 边（edge） . 图的表示 图的集合表示 图的图形表示 图的矩阵表示 优点：便于用代数知识来研究图的性质，特别是便于用计算机来处理。 邻接矩阵（adjacency matrix） ： 设图 G = < V , E > G = <V, E> G = < V , E > ， 其中 V = v 1 , v 2 , . . . , v n V = {v_1, v_2, ..., v_n} V = v 1 ​ , v 2 ​ , . .

§2 群的定义和性质 定义1.2.1 （群） 设非空集合 G G G 。若在 G G G 上定义了一个代数运算，称为乘法，记为 a b ab a b ，且它适合以下条件，则称 G G G 为一个群： G G G 中元素运算满足结合律： 设 a a a , b b b , c c c 为 G G G 中任意三个元素，则他们满足： a ( b c ) = ( a b ) c a(bc) = (ab)c a ( b c ) = ( a b ) c G G G 中存在单位元： 在 G G G 中有一个元素 e e e , 对 G G G 中任一元素 a a a 满足： e a = a ea = a e a = a 对于 G G G 中任一元素 a a a 都存在 G G G 中一元素 b b b ，使得 b a = e ba = e b a = e 例1.2.1 元素在数域 P P P 中全体 n n n 级可逆矩阵对于矩阵的乘法成一个群，记为 G L n ( P ) GL_{n}(P) G L n ​ ( P ) ，称为 n n n 级 一般线性群 ； G L n ( P ) GL_{n}(P) G L n ​ ( P ) 中全体行列式为 1 1 1 的矩阵对于矩阵乘法也成一个群，记为 S L n ( P ) SL_{n}(P) S L n ​ ( P ) ，称为 特殊线性群 。

§4 子群和陪集 为了讨论群的问题，下面我们引入子群和陪集的概念： 定义1.4.1 （子群） 若群 G G G 的非空子集合 H H H 对于 G G G 的运算也成一个群，则称 H H H 为 G G G 的子群。 定义1.4.2 （平凡/非平凡子群） 在群 G G G 中仅由单位元素 e e e 组成的子集合 { e } \{ e\} { e } 和群 G G G 本身被称为 G G G 的 平凡子群 。其余的子群被称为 非平凡子群 。 H H H 是 G G G 的子群可记为 “ H < G ” “H<G\ ” “ H < G ” 。 定理1.4.1 群 G G G 的非空子集合 H H H 是一子群的充要条件是：由 a , b ∈ H a,b\in H a , b ∈ H 推得 a b − 1 ∈ H ab^{-1} \in H a b − 1 ∈ H 。 证明 必要性显然，下证充分性： 因为 H H H 为非空集合，故至少含有一个元素，记为 a a a 。由 a , a ∈ H a,a \in H a , a ∈ H ： a a − 1 = e ∈ H . aa^{-1}=e \in H. a a − 1 = e ∈ H . 由 e , a ∈ H e,a \in H e , a ∈ H 得： e a − 1 = a − 1 ∈ H ea^{-1}=a^{-1} \in

§5 群的同构 定义1.5.1 （同构） 设 G G G 和 G ′ G' G ′ 是两个群。若有一个从 G G G 到 G ′ G' G ′ 的双射 σ \sigma σ ，它对于所有的 x , y ∈ G x,y \in G x , y ∈ G 有 σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) \sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y) σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) 则称 G G G 同构于 G ′ G' G ′ 。具有以上性质的双射称为 G G G 到 G ′ G' G ′ 的一个 同构映射 ，或简称 同构 。 注： 由定义显见：同构映射将单位元素映到单位元素，将逆元素映到逆元素。 群的同构作为群之间的一种关系，满足自反性、对称性和传递性。 在同构映射下，对应的元素在各自的运算下具有相同的代数性质。 在抽象地研究一个群时，无需对同构的群加以区别。 在历史上，群论最早研究的就是变换群，抽象群的概念也是从变换群的概念中抽象而来的。 定理1.5.1 （Cayley定理） 任何一个群都同构于某一集合上的变换群。 证明 设 G G G 是一个群。对于每个 a ∈ G a \in G a ∈ G ，定义同一个集合 G G G 的变换 σ a \sigma_{a} σ a ​ 如下： σ a ( x ) = a x , x ∈ G

<div class="three"> <div class="bjtp"> <img class="bjpic b1" src="../public/images/hero_01.jpg"> <img class="bjpic b2" src="../public/images/hero_02.jpg"> <img class="bjpic b3" src="../public/images/hero_03.jpg"> <img class="bjpic b4" src="../public/images/hero_04.jpg"> <img class="bjpic b5" src="../public/images/hero_05.jpg"> <img class="bjpic b6" src="../public/images/hero_06.jpg"> </div> <div class="bpic"> <img class="bpin bb1" src="../public/images/hero_01_ren.png"> <img class="bpin bb2" src="../public/images/hero_02_ren.png"> <img class="bpin bb3" src="../public/images/hero_03_ren.png">

【深度学习】生成对抗网络（GAN）的tensorflow实现 一、GAN原理 二、GAN的应用 三、GAN的tensorflow实现 参考资料 GAN（ Generative Adversarial Nets ）是Goodfellow I. J.大神在2014年提出的（参考资料【1】），在近几年成为人工智能领域研究的热点。本博文讲解最简单的生成对抗网络GAN原理并实现一个简单化GAN的tensorflow代码，可以作为大家入门GAN的参考资料。 一、GAN原理 原论文中给出这样一个例子：GAN由生成器（ G G G ）和判别器（ D D D ）构成。生成器就像是一个假钞制造团伙，它试图制造出完美的假钞；判别器就像是警察，试图正确分辨出所有的真钞和假钞。GAN模型就是在这种博弈的过程中训练出来的，如果最终生成器制造的假钞判别器都无法正确辨别出真假，此时的生成器就达到最优性能；如果任何生成器制造的假钞，判别器都可以准确判别，判别器就达到最优性能。 GAN的网络模型如下图所示： 假设真实训练样本为 X = { x 1 , x 2 , ⋯ &ThinSpace; , x m } X = \left\{ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}} \right\} X = { x 1 ​ , x 2 ​ , ⋯ , x m ​ } 随机信号为 Z = { z 1 , z 2 ,