高阶无穷小

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 二、无穷小比阶(1.47-1.63) 通过几种等价替换确定阶数， \(5>n+1>3\) ，卡正整数的值。 分母无理化之后有惊喜， \(tanx-sinx \sim {\frac{1}{2} }x^3\) 。 多个无穷小量共同作用，看阶数最小的那个。 正常等价替换或泰勒，展开原则，式子的和不能为0，阶数取x次数最低的那个。 ？？？为什么xlnx不是一阶无穷小？ \(xlnx=x[(1+x)-\dfrac{1}{2}(1+x)^2+o(x^2)]\sim x^?\) 原式时x的阶无穷小，故原式/x^k的极限存在。（而且一般不为0吧） \(\alpha'=cos\ x^2\sim o(x^0);\quad \beta'=2x\ tan\sqrt{x^2}\sim 2o(x^2);\quad \gamma'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\ sin\ {\sqrt x}^3\sim \dfrac{1}{2}o(x^1);\) 错误做法： \(\lim \limits_{x \to 0}sinx(cosx-4)+3x\sim (x-\dfrac{1}{6}x^3)(1-4)+3x=\dfrac{1}{2}x^3\) ， 所以3阶无穷小 。 直接泰勒展开后（各展开两项）相乘相加，或者相乘后再泰勒展开

无穷小 定义 如果函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 当 x → x 0 x \rightarrow x_0 x → x 0 ​ (或 x → ∞ x \rightarrow \infty x → ∞ )时的极限为零，那么称函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 为当 x → x 0 x \rightarrow x_0 x → x 0 ​ (或 x → ∞ x \rightarrow \infty x → ∞ )时的无穷小。 注意： （1）无穷小不可以和很小的量混为一谈，无穷小量不是指量的大小，而是 指量的变化趋势 （以零为极限）； （2）无穷小是这样的函数：在 x → x 0 x \rightarrow x_0 x → x 0 ​ (或 x → ∞ x \rightarrow \infty x → ∞ )过程中，函数的绝对值能小于任意给定的正数 ϵ \epsilon ϵ 。而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数 ϵ \epsilon ϵ 。例如取 ϵ \epsilon ϵ 等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的 ϵ \epsilon ϵ 。但零是可以作为无穷小的唯一常数，因为如果 f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f ( x ) ≡ 0 ，那么对于任意给定的正数 ϵ \epsilon ϵ ，总有 ∣ f ( x ) ∣ <