波利亚

Polya计数 将波利亚计数定理整理在这里，作为一个总结和介绍，也方便以后复习 为什么学习Polya计数定理 通过Polya计数定理，我们可以计算等价类的数量，比如下面这个问题： 用 \(m\) 种颜色给一个正方形染色，如果正方形可以自由转动，求染色方案数 让我们从一些概念开始 1 等价关系 1.1 等价关系的定义 假设 \(V\) 是一个集合， \(S\) 是定义在 \(V\) 上的一个关系，若 \(S\) 有如下性质： 自反性 传递性 对称性 那么， \(S\) 就是一个等价关系 \(a\) 和 \(b\) 有关系 \(S\) ,可以记为 \(aSb\) 假设定义关系 \(S\) ，图形 \(a\) 可以旋转得到 \(b\) \(\Leftrightarrow\) \(aSb\) 例如图中的 \(方块_1\) 和 \(方块_2\) 具有关系 \(S\) ，即他们可以通过旋转得到彼此，而 \(方块_1\) 和 \(方块_2\) 则没有关系 \(S\) 1.2 等价类 通过上图，可以看出来： \(方块_1\) 和 \(方块_2\) 是同一类的，而 \(方块_1\) 和 \(方块_2\) 则是另外两类，于是可以想到集合 \(V\) 上的等价关系 \(S\) 将集合的元素划分到不同的类中，我们把它称为等价类 而包含元素 \(a\) 的等价类则是由满足 \(aSb\) 的所有元素 \(b