5求解Ax=0:主变量、特解

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:38:01

本课时将讲解如何计算那些空间中的向量,从概念定义转向算法,求解Ax=0的算法是怎样的,即如何求解零空间。

消元法解Ax=0
消元过程中,方程通过加减消元本质上是线性变换,解是不会改变的。实际上,消元法改变了系数矩阵的列空间,而不改变系数矩阵的行空间。
所以,注意消元过程中不变的是什么,随消元不变的是方程组的解。
行向量或者列向量之间的相关性可以在消元过程中表现出来。A中第一列和第二列共线,A的第三行是第一行和第二行的线性组合。
看例子:

A矩阵第一阶段的消元是把主元1那一列下面的元素变为0,第二阶段的消元是把主元2那一列下面的元素变为0,最终得到阶梯型echelon的矩阵U。图中圈出来的为主元,个数为2,这里引出一个重要概念:
矩阵的秩Rank(A):矩阵主元的个数。

如此,我们在解Ax=0,现在变为了Ux=0,但解和零空间不变,现在进行回代
找出“主变量”pivot variables,主列,即主元所在的列,其他列,称为自由列。(自由列表示可以自由或任意分配数值,列2和列4的数值是任意的,因此x2和x4是任意的,可以自由取)。当我们把x2和x4分别取1和0时,可得到解x=c(-2 1 0 0),c是常数,表示第二列减去2倍第一列为0。此时解是四维空间中穿过原点的一条直线。

因此,解Ax=0的新算法
1)A矩阵消元,确定主元,解出主变量,也就确定主列,其余为自由列,自由变量;
2)然后对自由变量分配数值。 一般的,可以令其中一变量为1,其他均为0,求出一个解,再令另一个变量为1,其他为0,完成另一个解。。。求出的这些解向量完全不同,每一个解都是零空间的一部分,整个解就构成了完整的零空间了。

特解:零空间内特定的解,给定自由变量特定的值(1或者0)求出的解。
通过特解能构造出整个零空间,有了特解,就能有常数倍特解,他们之间的和线性组合构成了整个零空间。(和表示任意线性组合,任意线性组合仍然在零空间内)。

如上,两个特解的线性组合,零空间所包含的正好是特解的线性组合,特解有多少个,每个自由变量对应一个特解。

算法整理:消元后矩阵U的秩Rank(A)=r,表示主变量的个数,主元的个数,表示只有r个方程起作用,那么自由变量的个数即n-r个(对于矩阵m×n,n列对应n个未知数),令自由变量取1,0值就能得到特解,所有的特解构成了零空间的基,特解的线性组合即构成了整个零空间

R=简化行阶梯形式reduced row echelon form(rref):主元上下都是0,主元变为1
全为0的行三是如何得来的,因为这一行是其他行的线性组合,消元会把它剃除。
继续消元,我们可以把主元上方位置变为0

它以最简的形式包含了所有信息:
1)主行(行一,行二);
2)主列(列一,列三),自由列,主元;
3)一个单位阵,主元上下均为0,而且主元为1,单位阵位于主列和主行的交汇处。以上是一个2×2的单位阵;
4)全为0的行总表示(第三行),该行的原行是其他行的线性组合
5)从Ax=0变为Ux=0再变为Rx=0的解,解更明了

将以上矩阵R中的主元列和自由列分别放在一起形成单位矩阵I和自由列矩阵F。

对于特解结果,自由列中数字的相反数即特解中的主元值,如下图上边的解和下边的I与F。


为什么呢?以下给出证明,假设R中主列在前I(r×r单位阵),自由列在后F(n-r×n-r),这是典型的简化行阶梯形式。那么什么x满足Rx=0,将构造一个“零空间矩阵”,记为N,它的各列由特解组成,RN=0,很容易得出N。

matlab中可以由null(A)得到零空间矩阵N。

以下以上面例子的转置作为例子求解零空间并简化行阶梯形式 :
由于A的第三列是第一列和第二列的线性组合,所以不指望第三列成为主列,它是自由列。同时消元还会整理好各行,找出哪些行相关,哪些行无关

矩阵主列个数与其转置的主列个数相等。

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