欧拉函数

欧拉函数

定义

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用 $\phi \left(x\right)\mathrm{}$ 表示。特殊的，$\phi \left(1\right)=1\mathrm{}$

计算公式

设 $x$ 的所有素因子分别为 $p_1,p_2,...p_n$，则
$φ(x)=x×\prod^{n}_{1}(1-\frac{1}{p_i})$
用容斥原理证明即可

积性函数

欧拉函数是积性函数，当 $gcd(n,m)=1\mathrm{}$ 时，$\phi (n\times m)=\phi \left(n\right)\times \phi \left(m\right)\mathrm{}$

常用性质

• 对于素数 $p$ ，$φ(p)=p-1，φ(p^k)=p^k-p^{k-1}$
• $n\>2\mathrm{}$ 时，$\phi \left(n\right)\mathrm{}$ 是偶数，即当 $gcd(m,n)=1\mathrm{}$ 时，有 $gcd(nm,m)=1\mathrm{}$，和 $n\mathrm{}$ 互素的数总是成对出现
• 根据上一条可得，小于 $n\mathrm{}$ 的数中，与 $n\mathrm{}$ 互质的数的总和为 $\phi \left(n\right)\times n\mathrm{/}2(n\>1)\mathrm{}$
• $n=\sum_{d|n}φ(d)$ ，即 $n$ 的因数（包括1和本身）的欧拉函数之和等于 $n$

实现代码

• 根据公式计算 $φ(n)$ 直接枚举 $n$ 的所有素因子，复杂度和因式分解相同 $O(\sqrt{n})$

int phi(int n){ 	int m=sqrt(n)+0.5; 	int ans=n; 	for(int i=2;i<=m;++i){ 		if(n%i==0){ 			ans=ans/i*(i-1); 			while(n%i==0) n/=i; 		} 	} 	if(n>1) ans=ans/n*(n-1); 	return ans; } 

• 埃氏筛，找到一个素数，更新它和它的倍数，复杂度 $O(n×lnln(n))$

int phi[maxn];  void init(){ 	for(int i=1;i<maxn;++i) phi[i]=i; 	for(int i=2;i<maxn;++i){ 		if(phi[i]==i){//代表i是素数 			for(int j=i;j<maxn;j+=i){ 				phi[j]=phi[j]/i*(i-1); 			} 		} 	} } 

• 欧拉筛，每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。$i$ 表示当前做到的这个数，$prime[j]$ 表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是 $i*prime[j]$，若 $i \ \% \ prime[j]\neq0$，也就是 $gcd(i,prime[j])=1$ 互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，$φ(i * prime[j])=φ(i) ×φ(prime[j])$。若 $i \ \% \ prime[j]=0$，也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，
  $φ(i×prime[j])=i×prime[j]×\prod_{k=1}^{n}(1-\frac{1}{p_k})=prime[j]×φ(i)$

  int prime[maxn],tot; int vis[maxn],phi[maxn];  void init(){ 	phi[1]=1; 	for(int i=2;i<maxn;++i){ 		if(!vis[i]){ 			prime[tot++]=i; 			phi[i]=i-1; 		} 		for(int j=0;j<tot && 1LL*i*prime[j]<maxn;++j){ 			vis[i*prime[j]]=1; 			if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]]; 			else{ 				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; 				break; 			} 		} 	} } 

文章来源: https://blog.csdn.net/xiao_k666/article/details/89736285