递归 | 易学教程

递归方法

待整理，未完…
递归的定义：
递归调用是一种特殊的嵌套调用，是某个函数调用自己或者是调用其他函数后再次调用自己的，只要函数之间相互调用能产生循环的则一定是递归调用。

一个递归算法必须包括终止条件和递归部分。

递归程序优化的一般手——尾递归优化

斐波那契数列的两种递归方法

# 一般递归方法
def fab(n):
    if (n<3):
        return 1
    else:
        return fab(n-1) + fab(n-2)

# 具有‘线性迭代过程’特性的递归——尾递归过程

def fab1(n,b1=1,b2=1,c=3):
    if (n<3):
        return 1
    else:
        if n == c:
            return b1+b2
        else:
            return fab1(n,b2,b1+b2,c+1)

应用

1.汉诺塔问题
设 $f(n)$ 为n个圆盘的汉诺塔总的移动次数，其递归方程为 $f(n) = f(n-1)+1+f(n-1) = 2f(n-1)+1$ ,
理解：
先把上面的n-1个圆盘移动到第二个柱子上（共 $f(n-1)$ 步），再把最后一个圆盘移动到第三个柱子(共1步)，再把第二个柱子上的圆盘移动到第三个柱子上(共f(n-1)步)。

2.跳台阶问题
问题描述，有一段楼梯台阶有15级，青蛙最多只能跳3级，青蛙跳上这段台阶共有多少次不同的跳法？

假设跳n级台阶的方法总数为 $f(n)$ ，那么对于n步的阶梯，有三种情况:
第一次跳一阶
第一次跳两阶
第一次跳三阶，
那么跳完第一次后，剩下的走法分别有 $f(n-1),f(n-2),f(n-3)(对于n>3的情况)$
而对于n<=3有以下定义：
$f(1)=1 \\ f(2)=2 \\ f(3)= 3$

def jump(n):
    if n <=0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    elif n==2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 4
    return jump(n-1)+jump(n-2)+jump(n-3)