设\(f(x)={\ln}(x+1),g(x)=\mathrm{e}^x-1\).
\((1)\) 证明:\(x\geqslant 0\)时,\(\dfrac{2x}{x+2}\leqslant f(x)\leqslant x\);
\((2)\) \(x\geqslant 0\)时,\(f(x)\cdot g(x)\geqslant ax^2\),求实数\(a\)的取值范围.
解析:
\((1)\) 由于我们熟知\[
\forall x\geqslant 1,x-1\geqslant {\ln}x\geqslant \dfrac{2(x-1)}{x+1}.\]因此只需将上述不等式中的\(x\)置换为\(x+1\),则题中不等式得证.
\((2)\) 经由端点分析可知\(a\leqslant 1\). 以下对参数\(a\)以\(1\)为分界点分类讨论.
情形一 若\(a\leqslant 1\),构造函数\[
h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x},x>0.\]对\(h(x)\)求导可得\[h'(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+1}{x^2},x>0.\]易知\(\forall x>0,h'(x)>0\),所以\(h(x)\)为单调递增函数,因此\[\forall x>0,h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}>\dfrac{x}{{\ln}(x+1)}=h({\ln}(x+1)).\]从而\[\forall x\geqslant 0,\left(\mathrm{e}^x-1\right){\ln}(x+1)\geqslant x^2\geqslant ax^2.\]因此\(a\leqslant 1\)满足题设.
情形二 若\(a>1\),构造函数\[F(x)=(\mathrm{e}^x-1){\ln}(x+1)-ax^2,x\geqslant 0.\]分别对\(F(x)\)求一二阶导函数可得\[
\begin{cases}
&F'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x+1}+\mathrm{e}^x{\ln}(x+1)-2ax,\\
&F''(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^x+1}{(x+1)^2}+\mathrm{e}^x\left[{\ln}(x+1)+\dfrac{1}{x+1}\right]-2a.
\end{cases}\]
则\(F''(0)=2-2a<0\).此时必然存在\(x_0>0\),使得\[
\forall x\in\left(0,x_0\right),F''(x)<0,\]即在区间\((0,x_0)\)内,\(F'(x)\)单调递减,此时\[
\forall x\in\left(0,x_0\right),F'(x)<F'(0)=0.\]于是\(F(x)\)在\((0,x_0)\)单调递减,有\[
\forall x\in\left(0,x_0\right),F(x)<F(0)=0.\]不符题设,舍去.