卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！
(本文中图片也来源于这个页面)
由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。
（似乎就是这两个比较常用？）
首先先扔卡特兰数的定义式
Catalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−i
(卡特兰数的很多应用，比如二叉树形态数，出栈序列数等，都由这个定义式得到。详见英文维基)
公式1 (通项公式) ：
Catalann=1n+1Cn2n
在上文提到的出栈序列的问题情景中，如果有n个元素，在平面直角坐标系中用x坐标表示入栈数，y坐标表示出栈数，则坐标(a,b)表示目前已经进行了a次入栈和b次出栈，则再进行一次入栈就是走到(a+1,b)，再进行一次出栈就是走到(a,b+1)。并且，由于入栈数一定小于等于出栈数，所以路径不能跨越直线y=x
因此，题目相当于求从(0,0)走到(n,n)且不跨越直线y=x的方案数
首先，如果不考虑不能跨越直线y=x的要求，相当于从2n次操作中选n次进行入栈，则方案数为Cn2n。
然后，考虑对于一种不合法的方案，一定在若干次操作后有一次出栈数比入栈数多一次，这个点在直线y=x+1 (即下图中红色的线) 上。那么把第一次碰到该直线以后的部分关于该直线对称，则最终到达的点是(n−1,n+1) (如下图) 。
图源：英文维基 (即文首网址)
显然，任何非法方案都可以通过此方式变成一条从
(0,0)到
(n−1,n+1)的路径，有
Cn+12n种。而任何合法方案由于不接触直线
y=x+1，无论从哪个点对称都不是一条连续的路径。由于合法方案数就是
Catalann，所以：
Catalann=Cn2n−Cn+12n=(2n)!n!∗n!−(2n)!(n+1)!∗(n−1)!=1n+1((2n)!∗(n+1)n!∗n!−(2n)!n!∗(n−1)!)=1n+1((2n)!∗(n+1)n!∗n!−(2n)!∗nn!∗n!)=1n+1∗(2n)!∗(n+1)−(2n)!∗nn!∗n!=1n+1∗(2n)!n!∗n!=1n+1Cn2n
公式2 (递推公式) ：
Catalann+1=4n+2n+2Catalann
(这个公式的推导过程似乎网上没有，估计是思路太简单了……我太菜了想了半天才推出来)
由上面那个通项公式得
Catalann+1=1n+2Cn+12n+2=1n+2∗(2n+2)!(n+1)!∗(n+1)!=1n+2∗(2n)!∗(2n+1)∗(2n+2)n!∗n!∗(n+1)2=1n+2∗(2n+1)∗(2n+2)(n+1)∗1n+1∗(2n)!n!∗n!=2(2n+1)n+2∗1n+1∗Cn2n=4n+2n+2Catalann
