接触卡特兰数组是在刷Leetcode上的95.96这两题 unique binary search tree时涉及的知识点，当时只会考虑o(n^2)时间复杂度的解法，后来在discuss中了解到，这是典型的卡特兰数的题型，通过卡特兰数组的通项公式可以得到O(n)的解法。
卡特兰数，一种有着特殊规律的数列，先用一道题来引出卡特兰数。
10个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问有多少种排列方式?
我们可以先把这10个人从低到高排列，然后，选择5个人排在第一排，那么剩下的5个人肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有5个0，5个1的序列，就对应一种方案。
比如0000011111就对应着
第一排:0 1 2 3 4
第二排:5 6 7 8 9
0101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8
第二排:1 3 5 7 9
所以，看到问题相应的转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直不小于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？
为了让问题由一个序列的考虑变成一个位置上的单元的考虑，我们可以以某个特定位置来做定位，从左往右扫描，第一次出现1的个数等于0的个数是第k位，那么在此之前，0的个数是大于1的个数的。在此之后，0的个数也是大于等于1的个数的。所以第k位0和1的个数第一次相等的排列有他们这两部分的个数相称的结果。那么所有的k有多少种，则把它们相加起来，就是最后的排列数。这是一个递归的问题。
即 a(n)=a(0)×a(n-1)+a(1)*a(n-2)+...+a(n-1)*a(0)
OK，问题已经解决。
卡特兰数非常经典，很多现实的问题都是卡特兰数，如合法的入栈出栈序列有多少种就是卡特兰数，为什么呢？
我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
还有很多其他的问题都是卡特兰数，如二叉树的个数，有序树的个数，多边形分成三角形的个数等。
卡特兰数的通项是c(2n,n)/(n+1)，记住通项公式即可以得到unique binary search tree O(n)的解法，不过这种解法似乎在不了解卡特兰数时，很难想出。果然学无止境啊
来源：CSDN
作者：hiyajo_salieri
链接：https://blog.csdn.net/hiyajo_salieri/article/details/56667673